《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章课件_第二章第二节函数的求导法则

第二章第二节函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、反函数求导法则三、复合函数求导法则四、高阶导数HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页返回结束下页

一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数求导法则 四、高阶导数 三、复合函数求导法则 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章

一、和、差、积、商的求导法则定理1.函数u=u(x)及v=v(x)都在x具有导数u(x)及v(x)的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导，且(l) [u(x)±v(x)]' =u'(x)±v'(x)(2) [u(x)v(x)]' =u(x)v(x)+u(x)v(x)u(x)v(x)-u(x)v(x)[淄］(v(x) ± 0)(3)(xHIGH EDUCATION PRESS机动目录返回结束上页下页

一 、和、差、积、商的求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (v( x)  0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、反函数的求导法则定理2.设y= f(x)为x= f-(y)的反函数f-(y)在 的某邻域内单调可导且[f-l(y)]}'± 0一q或d x[f-(y)]"dxdyHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

f (x) = 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, ( ) ( ) , 设 y = f x 为 x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1   − 且 f y d d = x y 或 y x d d 1 [ ( )] 1  − f y 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

基本初等函数的导数(x")= μxu-l(C)'= 0(sin x)'= cos x(cos x)'= - sin x(tan x)'= sec? x(cot x)'= - csc2 x(cscx)' = - csc x cot x(secx)'= sec xtan x(a)'=a"Inaex=e(ln x)'(loga x)xlna(arccosx)(arcsinx)(arctanx(arccotx)1+xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

基本初等函数的导数 (C) = 0 ( ) =  x  −1  x (sin x) = cos x (cos x) = − sin x (tan x) = x 2 sec (cot x) = x 2 − csc (sec x) = sec x tan x (csc x) = − csc x cot x ( ) = x a a a x ln ( ) = x e x e (log a x) = x ln a 1 (ln x) = x 1 (arcsin x) = 2 1 1 − x (arccos x) = 2 1 1 − x − (arctan x) = 2 1 1 + x (arc cot x) = 2 1 1 + x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、复合函数求导法则定理。u=g(x）在点x可导y= f(u)在点u=g(x)可导复合函数y=f[g(x在点x可导dy= f'(u)g(x)且dxHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

在点 x 可导, 三、复合函数求导法则 定理. 在点 可导 复合函数 且 ( ) ( ) d d f u g x x y =   在点 x 可导, u y   = f (u) + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推广：此法则可推广到多个中间变量的情形y= f(u),u=@(v), v=y(x)dy du dydydxdu dv dx=f(u)·@'(v)·y(x)HIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

= x y d d = f (u) (v)(x)  u y d d  v u d d x v d d 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、高阶导数的概念引例：变速直线运动 s=s(t)ds速度即 v=s'Vdtdy加速度dt即α=(s')HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

四、高阶导数的概念 速度 即 v = s  加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义.若函数y=f(x）的导数y=f(x)可导,则称dV即f(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作"或dx23或y"=(y)"类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推n-1阶导数的导数称为n 阶导数，分别记作-,(nd或dxndHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

定义. 若函数 y = f (x) 的导数 y  = f (x) 可导, 或 即 y  = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束