《数学分析》课程教学课件（讲稿）平面曲线的弧长与曲率

S3 平面曲线的狐长与曲率本节定义光滑曲线的弧长，并用定积分给出弧长计算公式。一、平面曲线的弧长定义1设平面曲线C由以下参数方程表示：x= x(t),y= y(t),te[α,β]如果x(t)与y(t)在[α,β|上连续可微,且x(t)与y(t)不同时为零，则称C为一光滑曲线后页前页返回

前页 后页 返回 定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示: x x t y y t t = =  ( ), ( ), [ , ].   如果 x t y t x t y t ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) 与 在   上连续可微 且   与 不同时为零，则称 C 为一光滑曲线. §3 平面曲线的弧长与曲率 本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计 算公式. 一、平面曲线的弧长 返回

定义2设平面曲线C由参数方程x =x(t),y= y(t),t e[α,βl表示.对[α,βI的一个分割T: α=t, <t, <...<t, =β, T=max(At,),相应地对C有一个分割,即C上有分点A= P.,P,...,P, = B.若 lim /P-,Pl=s存在,则称曲线C 是可求长的,T-→0i=l并定义该极限值s为曲线C的弧长前页后页返回

前页 后页 返回 定义2 设平面曲线 C 由参数方程 x x t y y t t = =  ( ), ( ), [ , ]   0 1 : , max(Δ ) n i i T t t t T t   =    = = ， 1 0 1 lim , , n i i T i 若 P P s C − 存在 则称曲线 是可求长的 → =  = 表示.对[ , ]   的一个分割 相应地对 C C 有一个分割,即 上有分点 0 1 , , , . A P P P B = = n 并定义该极限值 s C 为曲线 的弧长

nZ/P-P|与参数方程的表注可以证明极限limT→0i-1示方式无关定理10.1（光滑曲线弧长公式）设曲线C由参数方程x =x(t),=y(t),t [α,βI表示. 若C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为s= J /x"(0)+ y'()dr.返回前页后页

前页 后页 返回 曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为 2 2 s x t y t t ( ) ( ) d .   = +    定理10.1 (光滑曲线弧长公式)设曲线 C 由参数方 1 0 1 , lim n i i T i P P− → = 注 可以证明 极限  与参数方程的表 示方式无关. 程 x x t y y t t = =  ( ), ( ), [ , ] .   表示 若C为一光滑

证设[α,β]的任一分割T: α=t,<t,<...<tn-i<t, =β.在[t-1,t,]上由微分中值定理,Ax, = x(t) -x(t-) =x'(5)At, 5, e[x,-1,x, l,Ay, = y(t.) - y(t,-) = y'(n,)At,, n; e[x,-i,x,l.于是ElPP--EVAr,+Ay,i=1i=l后页返回前页

前页 后页 返回 Δ 1 1 ( ) ( ) ( )Δ , [ , ]. i i i i i i i i y y t y t y t x x = − =  − −    于是 2 2 1 1 1 n n i i i i i i P P x y − = =  =  +  : . T  = t 0  t 1  tn−1  tn =  证 设[ , ]   的任一分割 1 [ , ] , i i t t 在 − 上由微分中值定理 Δ 1 1 ( ) ( ) ( )Δ , [ , ], i i i i i i i i x x t x t x t x x   − − = − =  

x"(5)+ y"(n.)Ati=-Zx"(5)+y"(5)A1,+i12/x"(5)+y"(n-2/x"(5)+y"(5)A,i-1i-1由于x"(t)+y"(t)在[α,βI上连续,从而可积因此2Vx"(5.)+ y'(5)At, = e/x(0)+ y"(1) dt.limi=1后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 1 ( ) ( )Δ n i i i i x y t   =    +    2 2 1 ( ) ( )Δ . n i i i i x y t   =  − +      2 2 由于 x t y t   ( ) ( ) [ , ] + 在   上连续,从而可积， = =  +   n i i i i x y t 1 2 2 ( ) ( ) =   +   + = n i i i i x y t 1 2 2 ( ) ( ) 因此 2 2 2 2 0 1 lim ( ) ( )Δ ( ) ( ) d . n i i i T i x y t x t y t t     → =      + = + 

由第一章S1习题6可知x"(5.)+ y"(n.) -x"(5)+ y"(5) ≤ y(5.)- y'(n:)又y'(t)在[α,β|上连续,从而在[α,β]上一致连续因此对任意 ε>0, 存在8>0,当[T<8时,8y(5,)-y'(n;)i =1, 2,..., n.β-α2(/x(5.)+y(n)-/"(5.)+y"(5)A于是iEy(n,) -y'(5,)At,<8,i-1前页后页返回

前页 后页 返回 由第一章§1习题6 可知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 2 2 2 i i i i i i x   + y   − x   + y    y   − y   又 y t ( ) [ , ] , [ , ] 在     上连续 从而在 上一致连续, 因此对任意       0, 0, , 存在 当 T 时 ( ) ( ) , 1, 2, , . i i y y i n        −  = − 于是, ( ) 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Δ n i i i i i i x y x y t     =      + − + 1 ( ) ( )Δ , n i i i i y y t    =  −    

即(((5)+(m)-(5)+(5),im=0,从而ZPP-i/-fx"()+ y"(t)dtlimS[T/->0i-1返回前页后页

前页 后页 返回 即 ( ) 2 2 2 2 0 1 lim ( ) ( ) ( ) ( ) 0, n i i i i i i i i i T i x y x y t      → =       + − +     =  从而 2 2 1 0 1 lim ( ) ( ) d . n i i T i s P P x t y t t   − → = = = +    

注1若曲线C由直角坐标方程y=f(x),xe[a,b表示,则c亦可看作x=x,y=f(x),xe[a,b]因此当f在[a,bl上连续可微时，s= I'/I+ f"(x) dx.注2 若曲线 C 由极坐标方程 r=r(0),θ [α,βI表示，则C又可看作x =r(0)cos0, y =r(0)sin0, 0 e[α,β]由于后页返回前页

前页 后页 返回 因此当 f 在 [a, b] 上连续可微时, 2 1 ( ) d . b a s f x x = +   示,则 C 又可看作 x r y r = =  ( )cos , ( )sin , [ , ].        注1 若曲线 C 由直角坐标方程 y f x x a b =  ( ), [ , ] 表示,则 C 亦可看作 x x y f x x a b = =  , ( ), [ , ]. 注2 若曲线 C 由极坐标方程 r r =  ( ), [ , ]     表 由于

r(0) =r(0)cos0-r(0)sin0.y(0) = r'(0)sin0 +r(0)cos0,x"(0)+ y"(0) =r'(0)+r"(0)若r()在[α, βI上连续,且 r(0)与r(0)不同时为零则s= f/r(0)+r"(0)do.后页返回前页

前页 后页 返回 ( ) ( ) ( ) ( ), 2 2 2 2 x  + y  = r  + r  若 r r r   ( ) [ , ] , ( ) ( )      在 上连续 且 与 不同时为零, 2 2 s r r ( ) ( )d .   = +      则 y( ) = r( )sin + r( )cos, x r r   ( ) ( )cos ( )sin ,      = −

例1 求星形线 x=acos’t,y=asin’t, te[0,2元]y的周长解 x'(t)=-3acos'tsint,0xy'(t) = 3asin' t cost.因此 s=4/2x(t)+y(1)dt=4f(-3acossinn)+(3asin'tcos)d元一2sin't-12a f sin t cos tdt =- 12a.= 6a.20后页返回前页

前页 后页 返回 解 2 x t a t t ( ) 3 cos sin , = − 2 y t a t t ( ) 3 sin cos . = π 2 2 2 0 s x t y t t = + 4 ( ) ( )d   因此  ( ) ( ) π 2 2 2 2 2 0 = − + 4 3 cos sin 3 sin cos d a t t a t t t  π 2 0 = 12 sin cos d a t t t  π 2 2 0 sin 12 2 t =  a = 6a. 例1 3 3 求星形线 x a t y a t t = =  cos , sin , [0,2π] 的周长. x y O a