《数学分析》课程教学课件（讲稿）函数极限概念

S1函数极限概念在本章，我们将讨论函数极限的基本概念和重要性质.作为数列极限的推广函数极限与数列极限之问有看密切的联系，它们之问的纽带就是归结原理一、x超于0时的函数极限二、X超于Xo时的函数极限三、单侧极限前页后页返回

§1 函数极限概念 一 、x趋于时的函数极限 二、x趋于x0 时的函数极限 三、单侧极限 在本章,我们将讨论函数极限的基本 联系,它们之间的纽带就是归结原理. 函数极限与数列极限之间有着密切的 概念和重要性质.作为数列极限的推广

一、x于00时的函数极限设函数f(x)定义在[a,+0) 1上,当 x 沿着x 轴的正向福f(x)无限远离原点时，函数f（x）也无限地接近A，我们就称f (x)当x趋于+oo时以A为0x极限.返回前页后页

一 、x趋于时的函数极限 设函数 f (x)定义在 a,   A f(x) x y O 极限. f (x)当 x 趋于   时以A为 也无限地接近A,我们就称 无限远离原点时,函数f (x) 上,当 x 沿着 x 轴的正向

例如 函数 y=arctanx,当 x 趋于+ 时,arctanx以=为极限.2y元-210.5010203040x前页后页返回

例如 函数 y  arctan x, 当 x 趋于  时, x y π 2 O 10 20 30 40 0.5 1 arctan x 以 为极限. π 2

定义1 设f为定义在[a,+o)上的一个函数．A为定数，若对于任意正数 ε>0,存在 M(≥)，使得当x>M时，f(x)-A<8,则称函数 f(x)当x趋于+时以A为极限记为lim f(x)= A 或者 f(x)→ A (x → +o).x→+后页返回前页

记为 lim ( ) 或者 x f x A   f ( x)  A ( x  ). 定数, 若对于任意正数   0 ， 存在 M (  a ) ， 使得 f (x)  A   , 则称函数 f (x)当 x 趋于  时以 A 为极限. 当x  M 时, 定义1 设 f 为定义在a, 上的一个函数 . A 为

lim f(α)=A的几何意义r>+④有A-80xxMa3使当x>M时②存在Ma后页返回前页

④有 A  f(x)  A lim ( ) x f x A   的几何意义 ③ 使当 x  M 时 x A A ①任意给定   0 M ②存在 M  a A x y O a

lim f(α)=A的几何意义x->+80④有A-80xxMa3使当x>M时②存在Ma后页返回前页

④有 A  f(x)  A lim ( ) x f x A   的几何意义 ③ 使当 x  M 时 x A A ①任意给定   0 M ②存在 M  a x A y O a

注数列可视为定义在正整数集上的函数，请大家比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点与不同点例1 证明limB=0x→+00 x证 任给&>0,取M=1,当x>M时,8f(x)-0 /=8,x所以(由定义1)lim=0.x→+0 x前页后页返回

注 数列可视为定义在正整数集上的函数. 请大家 所以(由定义1), 例1 证明 0. 1 lim  x x 证 任给  0, 取 , 1  M  当 x  M 时, , 1 ( )  0    x f x 0. 1 lim  x x 与不同点. 比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点

元例2证明lim arctanx2X→+0元元证 任给 6>0(εM时元元f(x)arctanx22<1-(F-6)=8.元这就是说 lim arctan x2X→+00返回前页后页

例2 . 2 lim arctan    x x 证明 证 任给 ), 2 0 (      ). 2 tan(   取 M   这就是说 π lim arctan . x 2 x   因为 arctan x 严格增，当 x  M 时， π π ( ) arctan 2 2 f x    x π π ( ) . 2 2      

定义2设f(x)定义在(-80,bl上,A是一个常数。若对于任意 ε>0,存在 M >0, 当x<-M(<b)时f(x)-A<8,则称f(x)当x→-0时以A为极限，记为lim f(x)= A 或 f(x)→A (x→-o0).X→返回前页后页

f (x)  A   , 定义2 设 f ( x)定义在  ,b 上, A是一个常数 . 若对于任意   0 , 存在 M  0, 当 x  M( b)时 则称 f (x)当 x   时以 A为极限, 记为 f x A x    lim ( ) 或 f (x)  A (x  )

定义3 设 f(x)定义在的某个邻域 U(o)内，A为一个常数.若对于任意 ε>0,存在M>0,当[x|>M时f(x)-A <8,则称f(x)当x→80时以A为极限，记为lim f(x)= A 或 f(x) → A (x→).后页返回前页

则称 f (x)当 x   时以 A 为极限，记为 f (x)  A   , 定义3 设 f ( x)定义在的某个邻域 U()内, A 为一个常数 . 若对于任意   0, 存在 M  0 ， 当 x  M 时 f x A x   lim ( ) 或 f (x)  A (x )