《数学分析》课程教学课件（讲稿）连续函数的概念

S1 连续函承数的概念一、函数在一点的连续性二、问断点的分类三、区间上的连续函数返回前页后页

前页 后页 返回 §1 连续函数的概念 一、函数在一点的连续性 三、区间上的连续函数 二、间断点的分类 返回

一、函数在一点的连续性定义1设函数 f(x)在点x.的某邻域内有定义，且lim f(x) = f(xo)(1)X-→Xo则称f(x）在点x连续由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续性的，换句话说连续就是指f(x)在点x,的极限不仅存在，而且其值恰为f(x)在点x,的函数值f(x）后页返回前页

前页 后页 返回 定义1 0 设函数 f x x ( ) , 在点 的某邻域内有定义 且 lim ( ) ( ), 0 0 f x f x x x = → (1) 由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续 0 0 仅存在,而且其值恰为 在点 的函数值 f x x f x ( ) ( ). 一、函数在一点的连续性 性的，换句话说连续就是指 0 f x x ( )在点 的极限不 0 则称 f x x ( ) . 在点 连续

例如：f(x)=xsgnx在x=0处连续，这是因为limxsgnx = 0 = f(0)x-→0Vy=xsgnxx0前页后页返回

前页 后页 返回 lim sgn 0 (0). 0 x x f x = = → y = xsgn x 例如： f (x) = xsgn x在 x = 0 处连续， 这是因为 x y O

又如：函数x±0x,二(a±0)f(x)=a, x=0在x=0处不连续，这是因为寸 lim f(x)=0± f(0)x-0Vx0返回前页后页

前页 后页 返回 在 x = 0 , 处不连续 这是因为 lim ( ) 0 (0). 0 f x f x =  → 又如：函数 , 0 ( ) ( 0) , 0 x x f x a a x   =    = a x y O

函数f(x)=sgnx在点x=0处不连续，这是因为极限limsgnx不存在x-0由极限的定义，定义1可以叙述为：对于任意正数ε，存在8>0,当0<x-x,/<8时,有(2)f(x)-f(x) <8.注意到(2)式在x=x,时恒成立,因此0<x-x<8可改写为x-x<S，这样就得到函数f(x)在点x连续的-8定义后页返回前页

前页 后页 返回 极限 x x limsgn →0 不存在. 由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e , ( ) ( ) . (2) 0 f x − f x  e 函数 f x x x ( ) sgn 0 , = = 在点 处不连续 这是因为 0 0 注意到(2) , 0 式在 x x x x =  −  时恒成立 因此  存在 > 0, 0 当0 | | ,  −  x x  时 有 可改写为 0 这样就得到函数 f (x) 在点x0 x x −  ， 连续的 定义 e  −

定义2设f(x)在点x的某个邻域内有定义.如果对任意的ε>0,存在8>0,当x-x<8,时f(x)-f(x)<8,则称f(x)在点x连续为了更好地刻划函数在点x,的连续性，下面引出连续性的另外一种表达形式设Ax=x-xoAy= y-yo = f(x)-f(x,)= f(x +△x)-f(x,)前页后页返回

前页 后页 返回 ( ) ( ) , 0 f x − f x  e 0 则称 f x x ( ) . 在点 连续 连续性的另外一种表达形式. 定义2 0 设 f x x ( ) . 在点 的某个邻域内有定义 如果 0 为了更好地刻划函数在点x 的连续性, 下面引出 , 设 x = x − x0 ( ) ( ) ( ) ( ). 0 0 0 x0 y = y − y = f x − f x = f x +  x − f 对任意的 e  0, 存在   0, 当 x x −  0  , 时

则函数在点x，连续的充要条件是：(3)lim Ay = 0.Ar-0这里我们称△x是自变量（在x处）的增量，△y为相应的函数（在yo处）的增量前页后页返回

前页 后页 返回 0 则函数在点 x 连续的充要条件是 : lim 0. (3) 0  =  → y x 应的函数(在 y0 处)的增量 0 这里我们称   x x y 是自变量( ) , 在 处 的增量 为相

例1 证明 f(α)= xD(x)在 x=0 处连续,其中 D(x)为狄利克雷函数证因为 f(0)=0, D(x)≤1, limx=0,所以x-0lim f(x) = limxD(x) = 0 = f(0).X-0x-→0故f(x)在x=0处连续注意：上述极限式绝不能写成limxD(x) = limxlim D(x) = 0.x->0x-0 x-0后页返回前页

前页 后页 返回 为狄利克雷函数. 证 因为 (0) 0, ( ) 1, lim 0, 所以 0 =  = → f D x x x lim ( ) lim ( ) 0 (0). 0 0 f x xD x f x x = = = → → 故 f x x ( ) 0 . 在 = 处连续 注意:上述极限式绝不能写成 lim ( ) lim lim ( ) 0. 0 0 0 = = → → → xD x x D x x x x 例1 证明 f x xD x x ( ) ( ) 0 , = = 在 处连续 其中 D x( )

由上面的定义和例题应该可以看出：函数在点xo有极限与在点x连续是有区别的.首先f(x)在点xo连续，那么它在点xo必须要有极限（这就是说极限存在是函数连续的一个必要条件），而且还要求这个极限值只能是函数在该点的函数值类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念返回前页后页

前页 后页 返回 由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念. 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值. 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点

定义3设函数f(x)在点x,的某个右邻域U (x)(左邻域U（x）有定义，若lim f(x)= f(xo) (lim f(x)= f(xo),x→xtx-→xo则称f(x）在点x右（左）连续很明显，由左、右极限与极限的关系以及连续函数的定义可得：定理4.1函数f(x)在点x，连续的充要条件是：f在点x.既是左连续，又是右连续后页返回前页

前页 后页 返回 定义3 0 0 f x x U x ( ) ( ) 设函数 在点 的某个右邻域 + lim ( ) ( ) ( lim ( ) ( )), 0 0 0 0 f x f x f x f x x x x x = = → + → − 0 则称 f x x ( ) ( ) . 在点 右 左 连续 很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数 点x0 既是左连续，又是右连续. 定理4.1 0 函数 f x x ( ) 在点 连续的充要条件是： f 在 ( ( )) 左邻域U− x0 有定义，若 的定义可得：