《数学分析》课程教学课件（讲稿）微分

S5微分若在有限增量公式Dy=fxo）Dx+o(Dx）中删去高阶无穷小量项，则得DV关于Dx的一个线性近似式，这就是“微分”；其中的线性因予xo）即为导数，所以，微分和导数是一对相辅相成的概念一、微分的概念微分的运算法则三、高阶微分四、微分在近似计算中的应用岚回后页前页

前页 后页 返回 一、微分的概念 §5 微 分 若在有限增量公式 中删去 高阶无穷小量项, 则得 关于 的一个线性近 似式, 这就是“微分” ; 其中的线性因子 即为 四、微分在近似计算中的应用 三、高阶微分 二、微分的运算法则 导数. 所以, 微分和导数是一对相辅相成的概念. 返回

一、微分的概念微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的线性部分，请先看一个具体例子设一边长为x的正方形，它的面积S=x2是x的函数.如果给边长x一个增量△x，正方形面积的增量△S=(x+Dx)-x2=2xDx+(Dx)由两部分组成：△x的线性部分2x△x和△x的高阶部分（△.x)2.因此，当边长x增加一个微小量△x时，△S可用△x后页返回前页

前页 后页 返回 微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的 数. 如果给边长 x 一个增量 , 正方形面积的增量 的线性部分 和 的高阶部分( )2 .因 此, 当边长 x 增加一个微小量 时, 可用 一、微分的概念 由两部分组成 : 设一边长为 x 的正方形, 它的面积 S = x 2 是 x 的函 线性部分, 请先看一个具体例子

的线性部分来近似．由此产生的误差是一个关于△x的高阶无穷小量（△x），即以△x为边长的小正方形（如图）xAx2AxxAx回后页前页

前页 后页 返回 的线性部分来近似. 由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量 , 即以 为边长的小 正方形(如图)

定义 5 设函数 y=f(x), xi U(xo). 如果增量y=f(x+△x)-f(xo）可以表示成(1)Ay=A△x+o(△x),其中A是与^x无关的常数，则称函数f在点Xo可微，并称 A△x为 f在点xo处的微分，记作(2)dylx=x, = AAx, 或 df(x)x-xo= AAx.由定义，函数在点xo处的微分与增量只相差一突于Ax的高阶无穷小量,而dy是Ax的线性菌数。1后页巡回前页

前页 后页 返回 可以表示成 定义 5 设函数 如果增 量 可微, 并称 为 f 在点 处的微分, 记作 其中 A 是与 无关的常数, 则称函数 f 在点 由定义, 函数在点 处的微分与增量只相差一 个 关于 的高阶无穷小量,而 是 的线性函数

更通俗地说，d是△的线性近似定理5.10函数f在点x，可微的充要条件是f在点 xo 可导,且 df(x)lx=x= fdxo)Ax.证(必要性）如果f在点x.可微,据(1)式有Ay = A + o(1).Ax于是Ny= lim (A + o(1) = A,fdxo)= limAx? 0AxAxR0巡回后页前页

前页 后页 返回 于是 定理 5.10 函数 在点 可微的充要条件是 在 点 可导, 且 证 (必要性) 如果 在点 可微, 据 (1) 式有 更通俗地说, 是 的线性近似

即 f在点x.可导，且fdxo)=A.（充分性）设f在点x.处可导，则由f的有限增量公式y=fx)△x+o(△x),说明函数增量△y可表示为Dx的线性部分fxo)Ax，与关于△x的高阶无穷小量部分o(△x)之和.所以f在点x可微且 dy/r=x, = f(xo)Ax.微分概念的几何解释，示于下图：返回后页前页

前页 后页 返回 即 在点 可导, 且 (充分性) 设 在点 处可导,则由 的有限增量 公式 说明函数增量 可 且 表示为 的线性部分 ,与关于 的高 阶无穷小量部分 之和.所以 在点 可微, 微分概念的几何解释, 示于下图:

Vf在点x的增量为0J=f(x)Ay = RQ,A1QdyPR而微分是dy=RQc它是点P处切线相xXo +AxXo0应于△x的增量当|△x|很小时，两者之差|△y-dyl=QQ相比于[△x/将是更小的量（高阶无穷小).更由于巡回后页前页

前页 后页 返回 它是点 P 处切线相 在点 的增量为 而微分是 应于 的增量. 当 很小时,两者之差 相比于 将是更小的量(高阶无穷小).更由于

Ay- dyQfdxo)/=0,limlimROcAxAx? 0Ax?0Q2-0.这说明当1故若 fdxo）0,则得到limAx?0RQC△x?0时，QQ还是RQ的高阶无穷小量若函数f在区间「上每一点都可微，则称f是「上的可微函数．f(x）在上的微分记为(3)dy= fdx)Ax, xi I它既依赖于△x，也与x有关后页巡回前页

前页 后页 返回 故若 则得到 的高阶无穷小量. 若函数 在区间 上每一点都可微,则称 是 上 它既依赖于 , 也与 有关. 的可微函数

习惯上喜欢把△x写成dx，于是（3）式可改写成dy= fdx)dx, xi I(4)这相当于y=x的情形，此时显然有dy=dx=x.（4）式的写法会带来不少好处，首先可以把导数函数的微分与自变量的微分之商，即dy-= f(x),(5dx所以导数也称为微商更多的好处将体现在后面积分学部分中巡回后页前页

前页 后页 返回 (4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数 看 所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面 习惯上喜欢把 写成 ,于是 (3) 式可改写成 这相当于 的情形, 此时显然有 (5 ) 积分学部分中. 成函数的微分与自变量的微分之商, 即

d(x")=a xa-I dx ;例1（d (sin x) = cos x dx ;d(a") = a" Ina dx .巡回后页前页

前页 后页 返回 例1