《数学分析》课程教学课件（讲稿）二重积分的变量变换

S4 二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量变换公式，并用格林公式加以证明·特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论。一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换邀回后页前页

前页 后页 返回 §4 二重积分的变量变换 本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并 用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标 变换方法作了详细的讨论. 一、二重积分的变量变换公式 返回 三、二重积分的广义极坐标变换 二、二重积分的极坐标变换

一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中，残们得到了如下结论：设fX在区向[a,b] 上连续,x=j (t)当 t从a 变到b 时严格单调地从a 变到 b,且i(t) 连续可导,则(1)O f(x)dx = f( (t)i dt)dt.当a 0)时, 记X =[a,b], Y =[a ,b],则X =j (Y),Y =j -'(X).利用这些记号,么式(1)又可写成巡回前页后页

前页 后页 返回 一、二重积分的变量变换公式 在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 在区间 上连续, 当 从 变到 时严格 单调地从a 变到 b, 且 连续可导, 则 当 (即 )时, 记 则 利用这些记号, 公式(1)又可 写成

(2)Q f(x)dx = 9(x) f(i (t) dt)dt.当a >b(即i dt)<0)时,(1)式可写成(3)Q f(x)dx =- 9(x) f(i (t)i dt)dt.故当i(U) 为严格单调且连续可微时,(2)式和(3)式可统一写成如下的形式：(4)Q f(x)dx=9(x f(i (t)li dt)|dt.下面要把公式(4)推广到二重积分的场合.为此先给出下面的引理巡回前页后贡

前页 后页 返回 当 (即 )时, (1)式可写成 故当 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可 统一写成如下的形式: 下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给 出下面的引理

引理设变换 T : x=x(u,v), y= y(u,v)将uv平面上由按段光滑封闭曲线所图的闭区域 D,一对一地映成xy平面上的闭区域D. 函数x(u, V), (u, V)在 D内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u, )= 1(c,)- 0, (u, v)i D,T(u,v)则区域D的面积(5)m(D) = J(u, v) Idudv.D巡回前页后贡

前页 后页 返回 引理 设变换 将uv平面 上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 , 一对一地 映成xy平面上的闭区域D. 函数 在 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 则区域 D 的面积 (5)

证下面给出当u,V)在D内具有二阶连续偏导数时的证明.(注：对以(u,V)具有一阶连续偏导数条件下的一般证明,将在本章$9中给出.)由于 T是一对一变换, 且J(u,V) 1 0, 因而T把D的内点变为D 的内点,所以 D的按段光滑边界曲线 L,也变换为 D 的按段光滑边界曲线 LD设曲线L,的参数方程为u=u(t), v=v(t) (a f t f b).由于 L,按段光滑,因此 udt),vt)在[a ,b ] 上至多除后贡邀回前页

前页 后页 返回 证 下面给出当 在 内具有二阶连续偏导数 时的证明. ( 注: 对 具有一阶连续偏导数条件 下的一般证明,将在本章§9 中给出. ) 由于T 是一对一变换, 且 因而T 把 的 内点变为D 的内点 , 所以 的按段光滑边界曲线 也变换为D 的按段光滑边界曲线 . 设曲线 的参数方程为 由于 按段光滑, 因此 在 上至多除

去有限个第一类间断点外，在其他的点上都连续.又因 Lp = T(Lp),所以 L,的参数方程为x = x(t) =x(u(t), v(t)(atfb).y = y(t) = y(u(t), v(t))若规定t从a 变到 b 时,对应于 L,的正向,则根据格林么式,取 P(x,y)= 0,Q(x, )=x,有bm(D)= , xdy = x(t)ydt)dtut)+vd)dt. (6)0 x(u(t), (0)lyelu后贡巡回前页

前页 后页 返回 去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又 因 所以 的参数方程为 若规定 从 变到 时, 对应于 的正向, 则根据格 林公式, 取 有

另一方面，在uv平面上uélyydyxVu9lu6élyULydt)dt,(7)=±o x(uTuuuv其中正号及负号分别由 t 从a 变到 b 时,是对应于 Lp的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到Uey-dvm(D) =±Nx(uu岚回后页前页

前页 后页 返回 另一方面, 在 uv 平面上 其中正号及负号分别由 从 变到 时, 是对应于 的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到

x(u, v)du + x(u, v)))dv三士lu1今 P(u, D)=x(u,D),Q(u, v)=x(u,在uv平u面上对上式应用格林公式，得到agP:0m(D)=±(+01.dudvv 0Ty由于函数 (u,V)具有二阶连续偏导数,即有ulv10. 1P"二,因此P= J(u, v),于是quvJvu岚回前页后页

前页 后页 返回 令 在uv平 面上对上式应用格林公式, 得到 由于函数 具有二阶连续偏导数, 即有 因此 于是

m(D) = ±/(u, v)dudv.D又因为 m(D)总是非负的, 而J(u,V)在D上不为零且连续，故其函数值在D上不变号，所以m(D) = J(u, v) [dudv.D定理21.13 设f(x,J)在有界闭区域D 上 可积,变换T: x=x(u,v), y=y(u,v) 将uv 平面由按段光滑封闭曲线所图成的闭区域D一对一地映成XV平面上的闭区域D,函数 x(u,V),J(u,V) 在 D 内分别具有巡回前页后页

前页 后页 返回 又因为 总是非负的, 而 在 上不为零且 连续, 故其函数值在 上不变号, 所以 定理21.13 设 在有界闭区域D 上可积, 变换 将uv 平面由按段光滑封 闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成xy 平面上 的闭区域D, 函数 在 内分别具有

一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v) - 1() - 0, (u, v)i D,T(u, v)则有f(x, y)dxdy= f(x(u,v), y(u,v)/ J(u,v)Idudv.DD证用曲线网把D分成n个小区域D，在变换T作用下,区域D 也相应地被分成n 个小区域 D,.记 D,及D,的面积为m(D,)及 m(D,)(i=1,2,L ,n). 在对 y 的后贡巡回前页

前页 后页 返回 一阶连续偏导数且它们的函数行列式 证 用曲线网把 分成 n个小区域 , 在变换T作用 下, 区域D 也相应地被分成n 个小区域 . 记 及 的面积为 及 在对 y 的 则有