《数学分析》课程教学课件（讲稿）函数的幂级数展开

82函数的幂级数展开由泰勒公式知道，可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和.如果能将一个满足适当条件的承数在某个区间上表示成一个幂级数，就为函数的研究提供了一种新的方法一、泰勒级数二、初等函数的幂级数展开式邀回后页前页

前页 后页 返回 §2 函数的幂级数展开 由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和. 如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供 了一种新的方法. 返回 二、初等函数的幂级数展开式 一、泰勒级数

一、泰勒级数在第六章$3的泰勒定理中曾指出，若函数f在点x的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则()= f(x)+ F(x)(x- x)+ 致(x- x,) +L2!+f"()(x- x,)"+ R,(x),(1)n!这里为R,(x)拉格朗日型余项f(n+1 (x)T(2)R,(x)X(n + 1)!后贡巡回前页

前页 后页 返回 一、泰勒级数 在第六章§3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则 这里为 拉格朗日型余项

其中x在x与x之间,称(1)式为f在点 x,的泰勒公式由于余项R,(x)是关于(x-x)"的高阶无穷小,因此在点 X附近f 可用(1)式右边的多项式来近似代替,这是泰勒公式带来的重要结论再进一步,设函数在X二X,处存在任意阶导数，就可以由函数f得到一个幂级数f(x)+ fx,)(x- x)+ fx)+1V-2!+f"()(x- x.)" +L ,(3)n!回前页后页

前页 后页 返回 由于余项 是关于 的高阶无穷小, 因此 在点 附近 f 可用(1)式右边的多项式来近似代替, 这是泰勒公式带来的重要结论. 再进一步, 设函数 f 在 处存在任意阶导数, 就 可以由函数 f 得到一个幂级数 其中 在x与x0之间, 称(1)式为 f 在点 的泰勒公式

通常称(3)式为f 在 X = X 处的泰勒级数. 对于级数(3)是否能在点 X,附近确切地表达f, 或者锐级数(3)在点X,附近的和函数是否就是f本身，这就是本节所要着重讨论的问题.请先看一个例子例1由于函数-120x=010,在x二0 处的任意阶导数都等于0 （见第六章84第二段末尾)，即后贡巡回前页

前页 后页 返回 通常称 (3) 式为 f 在 处的泰勒级数. 对于级数 (3)是否能在点 附近确切地表达 f , 或者说级数(3) 在点 附近的和函数是否就是 f 本身, 这就是本节 所要着重讨论的问题. 请先看一个例子. 例1 由于函数 在 处的任意阶导数都等于0 (见第六章§4 第 二段末尾), 即

f(")(0) = 0, n =1,2,L ,因此f在x=0的泰勒级数为%x+L+%*+L.00+0xx+-2!n!显然它在(-?,十?)上收敛,且其和函数 S(x)=0. 由此看到,对一切 x 1 0都有f(x)1 S(x).上例说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不都能收敛于该函数本身，哪怕在很小的一个邻域内那么怎样的函数，其泰勒级数才能收敛于它本身呢？巡回后贡前页

前页 后页 返回 因此 f 在 的泰勒级数为 显然它在 上收敛, 且其和函数 . 由 此看到, 对一切 都有 . 上例说明, 具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不 都能收敛于该函数本身, 哪怕在很小的一个邻域内. 那么怎样的函数, 其泰勒级数才能收敛于它本身呢?

定理14.11 设f 在点Xo 具有任意阶导数,那么f 在区向(X - r,X 十r)上 等于它的泰勒级数的和 函数的充分条件是:对一切满足不等式/x-x,<r的x'有lim R,(x)= 0,nR?这里R,(x)是f在点Xo泰勒公式的余项本定理的证明可以直接从第六章3泰勒定理推出如果f 能在点X,的某邻域上等于其泰勒级数的和函数,则称函数于在点X,的这一邻域内可以展开成泰勒级数，并称等式后页巡回前页

前页 后页 返回 定理14.11 设 f 在点 具有任意阶导数, 那么 f 在 区间 上等于它的泰勒级数的和函数的 充分条件是: 对一切满足不等式 的 , 有 这里 是f 在点 泰勒公式的余项. 本定理的证明可以直接从第六章§3泰勒定理推出. 如果 f 能在点 的某邻域上等于其泰勒级数的和函 数, 则称函数 f 在点 的这一邻域内可以展开成泰 勒级数, 并称等式

f(x)= f(x)+ fdx)(x- x)+ fdx)((x - x,) +L2!f(" (x)(4)(x- x,)" +Ln!的右边为f 在X=X,处的泰勒展开式,或幂级数展开式.由级数的逐项求导性质可得：￥若 为幂级数a a,x"在收效区向 (-R, R)上的和函n=0?数, 则a a,x" 就是f 在(-R, R)上的泰勒展开式,n=0后贡巡回前页

前页 后页 返回 的右边为 f 在 处的泰勒展开式, 或幂级数展 开式. 由级数的逐项求导性质可得: 若 f 为幂级数 在收敛区间 上的和函 数, 则 就是 f 在 上的泰勒展开式

即幕级数展开式是惟一的在实际应用上，主要讨论函数在X二0处的展开式，这时(3)式就变成f0)f(0)+ fd0)(0)+Lx++1!2!n!称为麦克劳林级数从定理14.11知道，余项对确定函数能否展开为幂级数是极为重要的,下面残们重新写出当 X,= 0 时的巡回后贡前页

前页 后页 返回 即幂级数展开式是惟一的. 在实际应用上, 主要讨论函数在 处的展开式, 这时(3)式就变成 称为麦克劳林级数. 从定理14.11知道, 余项对确定函数能否展开为幂级 数是极为重要的, 下面我们重新写出当 时的

积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项，以便于后面的讨论它们分别是-R,()-- (x-1)d,F1)x+1,x在0与x之间R,(x)n-f(n+I)(q x)(1 - q)"xn+1,0 f q f 1.后贡巡回前页

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二、初等函数的幂级数展开式例2求k次多项式函数f(x)=C, +cx+c,x? +L +crx的幂级数展开式解由于nfk.i n!cn,f(n)(0) =i1 0,n>k,总有 lim R,(x)=0,因而n??后页滋回前页

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