《数学分析》课程教学课件（讲稿）一致收敛性

S1 一致收敛性对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有看重要的地位一、函数列及其一致收敛性二、函数项级数及其一致收敛性三、函数项级数的一致收敛判别法邀回后页前页

前页 后页 返回 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 返回 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位. 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性

一、函数列及其一致收敛性设(1)fi,f2,L, fn,L是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列.(1)也可记为(f,}或 f,, n=1,2,L .以 x,I E 代入(1),可得数列(2)fi(x,), f(x),L , f,(x,),L.后贡巡回前页

前页 后页 返回 一、函数列及其一致收敛性 设 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 以 代入 (1), 可得数列

如果数列(2)收效, 则称函数列(1)在点 X,收致,X称为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散，则称函数列(1)在点 X 发散. 当函数列(1)在数集 DI E上每一点都收敛时,就称(1)在数集D上收敛.这时D上每一点x都有数列(f,(x)的一个极限值与之相对应,根据这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列(1)的极限函数．若将此极限函数记作f,则有lim f,(x)= f(x), xI Dn??返回前页后页

前页 后页 返回 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 发散. 当函数列(1)在数集 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 一点 都有数列 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有

或f,(x)? f(x) (n ? ￥),xi D函数列极限的e -N定义: 对每一固定的xI D,任给正数 e,总存在正数N(注意: 一般锐来N值与 e 和X的值都有关,所以有时也用N(e,x)表示三者之向的依赖关系), 使当 n> N时, 总有I f,(x)- f(x)<e.使函数列f,收敛的全体收敛点集合，称为函数列（,的收敛域巡回前页后页

前页 后页 返回 或 函数列极限的 定义: 对每一固定的 , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间 的依赖关系), 使当 时, 总有 使函数列 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 的收敛域

例1 设 f,(x)= x",n =1,2,L 为定义在(-,） 的函数列,证明它的收敛域是(-1,1], 且有极限函数i0, 1x0 (不妨设e N(e,x)时,就有只要取 N(e,x)In|x|I f,(x)- f(x)x"x=e.后贡巡回前页

前页 后页 返回 例1 上的 函数列, 证明它的收敛域是 , 且有极限函数 证

当x =0和x =1时,则对任何正整数n,都有I f,(0) - f(0)I=01时,有|x"?+￥(n?￥),当x=-1时对应的数列为 - 1, 1,- 1,1L , 显 然是 发散的. 所 以函数列[x"1 在区向(- 1,1]外都是发散的. 故所讨论的函数列的收效域是(-1,1]后页巡回前页

前页 后页 返回 式所表示的函数. 又 显然是发散的. 所以 函数列 在区间 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 这就证明了 在( , 1] 上收敛, 且极限就是 (3)

sinnx例2定义在(-,+￥）上的函数列 f,(x):nn =1,2,L .由于对任何实数x，都有sinnxf一nn故对任给的e>0,只要 n>N=1,就有esinnx<e.n后页巡回前页

前页 后页 返回 例2

所以函数列sin nx/n的收敛域为(-￥,+￥)，极限函数为 f(x)=0.注对于函数列，仅停留在讨论在哪些点上收敛是远远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系．例如，能否由函数列每项的连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行返回后页前页

前页 后页 返回 所以函数列 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行

定义11设函数列f与函数f定义在同一数集D&，若对任给的正数e总存在某一正整数N，使当n>N时,对一切xI D,都有 f,(x)- f(x)<e则称函数列f，在D上一致收敛于f，记作f,(x) f(x)(n ? ￥),xI D由定义看到,一致收敛就是对 D 上任何一点,函数列超于极限函数的速度是“一致”的.这种一致性体现巡回后贡前页

前页 后页 返回 定义1 数集 上， 使当 时， 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现

为: 与e 相对应的N仅与 e 有关, 而与x在D上的取值无关，因而把这个对所有x都适用的N写作N(e).显然, 若函数列 (f,在 D 上一致收敛,则必在 D 上每一点都收效.反之,在D 上每一点都收敛的函数列,它在D上不一定一致收敛sinnxii例2中的函数列是一致收效的,因为对任意An1b后贡返回前页

前页 后页 返回 显然, 若函数列 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛. 为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 例2 中的函数列 是一致收敛的, 因为对任意