《数学分析》课程教学资源（书籍文献）数学分析习题演练（第二册，编著：周民强，科学出版社）

第1章定积分1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质1.1.1定积分的概念设f(r)是定义在[a,b]上的函数（1）把[a，]分成有限个子区间，即在[a，］中插入有限个分点，一般都表示为Aa=ao0,存在8>0,使得对满足△0，试证明存在[αβ]C[0,1]

第1章定积分2使得f()>0(E[αβ)(2)设f()在[a,b]上有界，α>0.试对a,b]的任一分划：a=zo，计算极限limA解（1）反证法.假定在[0，1]中的任一子区间中，总有非正的f(r)值，则对之 5(6.)A2;中,取 F(6)≤0 可使任一个S.<0. 从任一分划△所作的积分和S=而又有limSf(α)dr≤0.IAI这与题设矛盾，得证(2）设|f(r)<M(rE[a，b])，易知Zf()(Ar,)u <Z1 f(s) / (Ax,)"(Ar,)≤l ll.Mar; = AlM(b-a).从而知该极限值为零1.1.2可积函数类下文中，我们总是假设定义在区间上的f（z）是有界的，且记M= M(f)= Sup(f(),m=m(f)= infif(a))定义1.1.2作[a,的分划A：a=ro<i<<=b,且记(M=M()-sup(f(r)),(i=1,2,",n),inf,(f(r))m=mf=-1则称和式（数值）S=S(f)MAri,S=S()mAr为f(r)（在Lab]上）关于分划△的Darboux上和与下和，简称为上和与下和.这一操作避免了原积分和由于函数在插点上值的变化而出现的不确定性，引理1.1.1（积分和与Darboux上、下和的关系）设△：a=ro<x<<r,=b是[a，b的任一分划，则对任意的插点组<)，有S<S<S。，即AEmAri<Ef(s)Ais,MAr;设△"，"是[a,]的两个分划.若△'的分点必是"的分点，则称"为'的加细分划，记为A'CA".若△与"是[a，的任意两个分划，则S≤S引理1.1.2

1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质3定义1.1.3（Darboux）设f(r)是[a，b]上的有界函数，对La，b]的一切分划△，作相应的上和数集（S)与下和数集S)，且记其下上确界各为inf(Sa)J"f(z)dz,sup(Sa)=I"f(r)dr.并各称为f(）在[a，b]上的（Darboux）上积分与下积分显然有S≤Jf(r)drJf(a)dr0,存在8>0,使得对任-满足△0,存在>0,使得当[a，b]的分划满足时，有['f(r)dr+e>Ss, J'f()dr-e0,存在>0,使得当分划△满足l△I0,存在[a，b]的分划△，使得S（f)-S(f)<E注如果对于[a,]的分划：a=<<<=b,引用f()在[i-]，,]上振幅符号：w=w（f)=M-m= sup( f(r)-f(y) :r,yE[r-i,r)(i=1,2,",n),那么上述充分必要条件中的不等式又可写为(M,-m)Ar)=S-S)<e(*)4显然，为使式（*）成立，理应在振幅与△z两个方面上下功夫.例如，我们能使每个都充分地小，这当然是最理想的情形，因为此时，小区间△z长度的总和也就是b一α，所以式（*）成立，可积函数的范例：

第1章定积分(i）定义在[a,b]上的连续函数.（ii）定义在[a,b]上的单调函数定理1.1.6(DuBoisReymond）［a,b]上有界函数可积的充分必要条件是：对任给的e>00,存在分划△：a=Zo<a推论若定义在[a,b]上的有界函数只有有限个不连续点，则f()在[a,b]上可积例1.1.2解答下列问题：r,ELa,b]nQ,试求其在[a，]上的上、下积分.(1)设f(x)lo,rE[a,b]nQ(2）设fEC([0,1]).若存在常数C,使得对[0,1]的任一分划△：0=xo<ai<.<a=1,都有S(f)=C,则f()=C,xE[o,1]解(1)易知f(α)dz=0.此外，对任一分划△，我们有-2S(f) =( -) =r.2-1i-l(+()山()=2而对特定分划：a;=a十i（b一a)/n，又有[a+(b -a)b = b- (b-a)?S&(f) =)1222n(B-α).这说明f(r)dr=(2）（i)取分划：0=ro<x=1，则C=S（f）=m（1一0）=m（m=min(f(r)1).10.1(i）对任一分划△：0αo<x1<<α,一1，我们有mAzi = C=S(f)=)CArimin,(f(r))).(m=[x-]由此知-C)4z=0,即得m=C(i=1,2,,n)m-这说明f(r)在[o,1]内的任一子区间上的最小值都等于C,即f(a）一C的点r全体在[o,1]上稠密，而f(）是连续的，从而f(α）三C.例1.1.3试证明下列函数f(z）在给定区间上可积：sinl#半0,2xE[o,1].(1) f(x)lo,=0

1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质5113≠0，sinz'(2) f(r)TrE[o,1].lo,α=0,(Inr·In(1+r)，0,(3)f()E[o,]10,=0,证明（1）f(z）有界且仅有一个不连续点r一0.(2)注意(1/r—1/sin)-→0(→0+).(3)注意Inx·ln(1+x)-→0(r→0+)例1.1.4试证明下列命题：(1）设fER([a,b).若令h(r) = inf(f(t)),H(α)=suptf(t)),a0,存在gER(La，b])，使得If()-g()0）lf(y)-f(r)/≤/f(y)-g(y)/+ /g(y)-g(r)/+/g(r)-f(r)l<2e+ Ig(y) -g(α) /,所以对[a，b的任一分划△，可得（f）≤2e十w（g).从而由g(r)的可积性可推f(α)的可积性.(2)(i)设/flER([a,b)),且假定f(α)/<M(a<r<b),则由f(α)-f(")/≤2M//f()-/f(")/1,即知fER(La，b])(ii)设ER([a,b]).注意到f()-f(")f()/f().f()+f()≤l(x)-f(")

第1章定积分6则对[a，的任一分划△可得（lfl）≤w（f）从而又有Z(IfIAiV()A≤Zw;(f)Ar;.(b-a)7fe由此即得所证例1.1.6设f()在[a，b]上定义的有界函数.若对任给8>0,均有fER([a+o,b]),则fER(La,b])证明对任给>0,>0,取8>0，使得0,取正整数no：1/nno），并作分划11A:0=0,>0,易知在[0,1]中满足一>)的有理数(与q是互素的正整数)只有有限个，不妨记为r1,r2，，r（k=k(e))现在，可作[0,1]的分划△，满足△<%，且使得上述k个有理数均含于小区间的内部.此时，若分划△中的小区间不含有r（i=1,2，"，k），则f（）在其上的振幅为1—0<e，而使f(r)在其上振幅大于e的子区间必是含有r(i=1,2，，q

1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质)的小区间，这样的小区间至多有个，其长度总和小于0(0≤≤1),则1/≤elw≤(a)ds,证明易知题式中的定积分均存在，故对[0，1]作分划△：(k = 0,1,2,,n).0=x<<<=1,Xk/n应用几何-算术不等式，可知1-≤eCinf(I()++,)= /f(α).. (x,)<f(α) ++ f(r,)n令n-→o，结论立即得证.1.1.3可积函数的初等性质性质1.1.1若f(z)=[(a<r<b),则f(r)dr = l(b-a)性质1.1.2（积分的线性性）（i）设fER(La，b]），gER(La，b])，则f+gER(La,6])，且有['Lf(r) + g(r)]dr = I's(r)dr +f'g(a)dr.(ii）设fER(La,b)，c是常数，则cfER(La,b])，且有Lef(a)dr=cf(r)d性质1.1.3（积分的保序性）若fER（La，6)，gER（La,bJ)，且有f(α）≤g（），xE[a,b],则f(r)dr≤g(r)dr性质1.1.4（积分区间的可加性）设a<c<b,则fER(La，bJ)的充分必要条件是fER(La,c)以及fER(Le,b).此时有f()da=f()d+f()dr(*)注实际上，只要式（*）中的三个积分都存在，那么不论α，6与c的大小次序如何，式（*）总成立，例如对c<b<a的情形，因为我们有等式'f(a)da+f,f(x)dz =['f(a)da =-Jr(a)dz,所以由移项可知Jf(r)dr+f'f(r)dr =-f,f(a)dx = J'f(r)dr性质1.1.5设f()是[a,b)上的非负连续函数，若有f()dx=0,则f(z)=0.性质1.1.6（绝对值的可积性）若fER(La,b])，则|f(z）|在[a，b]上可积，且有

第1章定积分8I'f(a)dx ≤f1f(a)/ dr.注1f()|在[a,]上的可积性推不出f(x)在[a,]上的可积性性质1.1.7（乘积可积性）设fERLa，b])，gER(La，b])，则·gER([ab])性质1.1.8（复合函数的可积性）设fER(La，b])，且有m≤f()≤MrE[a，)；设EC([m，M))，则复合函数gLf(a)]在[a,b]上可积(证明见例1.1.10).注记R(α)是[0,1]上的Riemann函数，又定义g(0)=0,(r)=1(0<<1)，则复合函数g[R()]在[0,1]不可积.进一步记Q=(rn),G=（r—2",ra+2"),E=[0,1]\G,并作函数f(r)= inf(lr-yl,yEE).易知，fEC([o,1])（实际上属于Lip1).又作函数X=0,了1,g(a)=1o.工0，则)]在[0,1]上不可积例1.1.9设fER([a,b])(k=1,2,,m),则[(J'f(r)der)+. +(f'fm(a)da)""≤"Fi(a)+..+f()dz.证明分割[a，b区间：=a十k（b—a)/n(k0,1,2，，n），作积分和式估计[()-(([()-([2() ()]n?()()n?(b-a)24() .·2/24(a)n?Zf() b-a0令n-，即得所证例1.1.10试证明下列命题：（1）设fEC(（一00,8)）,且是以2元为周期的函数,令.F(r)=1*f(t)f(t+a)dt则 FEC((-00,00)).(2)设f(r)是（一8,8)上以T为周期的连续函数，令F(α）=f(t)dt，则

1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质F(α)可表为F(r)=()十kr其中(）是以T为周期的连续函数证明（1）易知F(）是以2元为周期的函数.因为f(）在（0080）上一致连续，所以对任给>0，存在>0，使得M=|[" I f(t) I dt.If(u+)-(u)]<(I/<8),因此我们有[F(r+Ar)-F()[[ f(t)f(t++Ar)da-[f(t)f(t+a)dtI f(t) I/ f(t++△x).-f(t+x)/ dt≤, f() [ de,1 Ax /<0.证毕，(2)考察函数()=F()一k,我们有p(r+ T) =f f(t)dt -kr + ff(t)dt-kT=p(r)+[f(t)dt - kT=g(r)+F(T)-kT从而令，即可得证。T例1.1.11试证明下列命题(1)设fER([0,1),且有等式f(α)="+号[f()dr，则f()=2+1/3.(2)设fEC([a,b]),且有["f(r)dr= 0,则" f2(r)dz≤mM(b-a),其中mintf(r)),M=maxf(r)).m=(3)设f(r)是[0,1]上的递减函数,0<α<1,则αf(α)dr≤/f(r)dr.证明（1）记A=f(r)dx，并在f(r)=r+A/2两端作[0,1]上的定积分，则得dr=+A=I'f(r)dr =adr+32从而有A=2/3，由此可知f(）一+1/3.(2）注意到mf(r)da=0=Mf(a)dx，因此有

第1章定积分10[" f(r)dz-mM(b-a) f'Ef(r) -mMJdz[f(a)+mJf() -Mdx['Lf(z) -(-m)f(x) -M)dz≤0.(3) 易知’f()dz≤(a)≤,f(z)dz,从而有αf'f(r)dr≤(1-α)/" f(r)da =["f(x)dr-af, f(a)dr.移项即可得证例1.1.12试证明下列积分不等式：(1)（Cauchy-Schwarz不等式）设fER(Ea,b])，gER([a,b]),则'f(a)g(a)da≤f"1 f(x)g(a) /dz≤(J'f()da)*(I'g*(r)de)t.(*)(2)设fEC([0,I),0≤f(α)<1,则f,f(z)/[1-f(r)]da ≥J f(a)da/[1-J,f(r)dr ](3) 设f,gER([a,b]),且mi≤f(r)≤Mi,m2≤g(r)<M2,则111Jg()g(a)dz-(6-aJg(a)d Jg(a)drb-<(M -m)(Mz -m2) /4.证明（1）首先，易知公式左、右端积分均存在.其次，记A=f"f2(r)dr, B=["I f(x)g(α)ldr, C=g"(r)dr并考察积分['[tl f(r)]- Ig(α) ]"dr = At2 -- 2B +C.因为上式对-切tE（一0,o)皆非负，所以必有4B?≤4AC或B≤AC.由此即知公式（*）成立。注若f,gEC([a,b]),则式(*)中等号成立当且仅当f(r)=cg(α).(2）易知f(α)dr<1(否则f(r）=1)，我们有["f(a)dr≤f VF(a)d (JVf() da)-(%@) ()-]dz