《数学分析》课程教学课件（讲稿）高斯公式与斯托克斯公式

S3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广.格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之问的关系；高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之问的关系；斯托克斯公式建立了空问曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之问的关系。返回后页前页

前页 后页 返回 §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的 推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积 分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的 关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积 分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的 关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第 二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线 积分之间的关系. 返回

一、高斯公式二、斯托克斯公式巡回前页后页

前页 后页 返回 一、高斯公式 二、斯托克斯公式

一、高斯公式设空向区域V由分片光滑的双侧封闭曲定理22.3面 S 围成. 若函数P,Q,R 在 V 上 连续,且有一阶连续偏导数，则Q-ROalP广dxdydz(1)Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,其中S取外侧.(1)式称为高斯公式后页滋回前页

前页 后页 返回 一、高斯公式 定理22.3 设空间区域 由分片光滑的双侧封闭曲 面 S 围成. 若函数 P, Q, R 在 上连续, 且有一阶连 续偏导数, 则 其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式

TRRdxdy.读者可类似dxdvd证下面只证w17VS证明其余两式：dxdydz = @ Pdydz ,sdxdydz = @Qdzdx.0Ls这些结果相加便得到高斯公式(1)先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面S, :z=z;(x,y),(x,y)i D(g) ,后页邀回前页

前页 后页 返回 证 下面只证 读者可类似 这些结果相加便得到高斯公式 (1). 先设V是一个 xy型区域,即其边界曲面 S 由曲面 证明其余两式:

S, :z= z,(x, y),(x,y)i D(g) ,SzL及垂直于 D(x)的柱面 S,S3组成(图22-7),其中zi(x,y) f z(x,y)S0VD(y)于是按三重积分的计算方x法,有图22-7R2(xy)Rdz.dxdydz = dxdy o(x,y)7LD(x)岚回后页前页

前页 后页 返回 及垂直于 的柱面 组成(图22-7), 其中 于是按三重积分的计算方 法,有

0(R(x, y,(z2(x, y)) - R(x, y,z,(x, y))dxdyD(xp)R(x, y,(z2 (x, y)dxdyD(xy)- 0R(x, y,(z (x, y))dxdyD(xy)R(x, y,z)dxdy - R(x, y,z)dxdyS2SiR(x, y,z)dxdy + R(x, y,z)dxdy,S2Si其中 S, S,都取上侧. 又由于 S,在xy 平面上投影面后贡巡回前页

前页 后页 返回 其中 都取上侧. 又由于 平面上投影面

积为零,所以 R(x,y,z)dxdy =0 .S.从而得到Rdxdydz = Rdxdy + Rdxdy + oRdxdyVS2S3St@Rdxdy.s对于不是xy型区域的情形，一般可用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论后页巡回前页

前页 后页 返回 从而得到 对于不是 xy 型区域的情形, 一般可用有限个光滑 积为零, 所以 曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论

例1计算I = y(x - z)dydz + x'dzdx +(y* + zx)dxdy,S其中S是边长为α的正立方体表面并取外侧解应用高斯公式é+v(x - z))xz)i dxdydz0velxu(y + x)dxdydz=o ddzQ dyQ (y+x)dxV18aa-dy=a4cay+=a20岚回前页后页

前页 后页 返回 例1 计算 其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧. 解 应用高斯公式

注若在高斯么式中 P=X,Q=y,R=Z, 则有@xdydz + ydzdx + zdxdy = (1 + 1 + 1)dxdydz.SV于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积的么式：DV =一xdydz + ydzdx + zdxdy .3Si例2 升算 y(x - z)dydz + x’dzdx +(y + xz)dxdys其中 S为曲面 z=5- x2-y 上 z3 1的部分, 并取上侧.后贡巡回前页

前页 后页 返回 注 若在高斯公式中 则有 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V的体 积的公式: 例2 计算 其中 为曲面 上 的部分, 并取 上侧

解由于曲面不是封闭的，不能直接应用高斯公式为了能使用高斯公式以方便计算，可补充一块平面S, :x2 + y2 ± 4,z=1, 并取下侧, 则 SE S, 构成一封闭曲面.于是@ y(x - z)dydz + x'dzdx +(y* + xz)dxdySES,= ci(x + y)dxdydzVM2pdro (rcosq +rsinq)rdz = 0后贡巡回前页

前页 后页 返回 解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式. 为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面 并取下侧, 则 构成一封 闭曲面.于是