《数学分析》课程教学课件（讲稿）可微性与偏导数

S1 可微性与偏导数本节首先讨论二元函数的可微性，这是多元函数微分学最基本的概念。然后给出对单个自变量的变化率，即偏导数.偏导数无论在理论上或在应用上都起看关键性的作用一、可微性与全微分二、 偏导数三、可微性条件四、可微性的几何意义及应用前页后页返回

前页 后页 返回 §1 可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性, 这是多 元函数微分学最基本的概念. 然后给出对单 个自变量的变化率, 即偏导数. 偏导数无论 在理论上或在应用上都起着关键性的作用. 四、可微性的几何意义及应用 返回 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件

一、可微性与全微分定义 1 设函数z=f(x,y)在某邻域U(P)内有定义. 对于P(x,y)=(x +△x,yo +Ay) e U(P), 若 f 在P的全增量△z可表示为：Az = f(xo + △x, yo +Ay) - f(xo, yo)(1)= A△x+ B△y +o(p),其中A,B是仅与点 P 有关的常数, p=△x2+Ay2,o(p)是p的高阶无穷小量,则称f在点P可微并称(1) 式中关于△r,Ay 的线性表达式 A△x +BAy后页返回前页

前页 后页 返回 一、可微性与全微分 定义 1 设函数 0 z f x y U P = ( , ) ( ) 在某邻域 内有定 0 0 0 义.对于 P x y x x y y U P ( , ) ( , ) ( ), = + +    若 f 在 P0 的全增量 z 可表示为: 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ), z f x x y y f x y A x B y o       = + + − = + + (1) P0 2 2 其中A,B是仅与点 有关的常数  = +   x y , , o( )   是 的高阶无穷小量 P0 , 则称 f 在点 可微. 并称 (1) 式中关于     x y A x B y , 的线性表达式 +

为f 在P的全微分,记作(2)dz lp, = df(xo, yo)= AAx + BAy.由(1),(2)可见,当[△xl,lAy|充分小时,全微分dz可作为全增量△z的近似值，于是有近似公式：.(3)f(x,y) ~ f(xo,yo)+A(x -x)+B(y - yo).在使用上,有时也把(1)式写成如下形式：(4)△z = AAx +BAy+αAx+βAy这里limlimβ=0.α=(△x,Ay)→(0,0)(△r,Ay) →(0,0)前页后页返回

前页 后页 返回 由 (1), (2) 可见,当 | |, | |   x y 充分小时, 全微分 dz ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim lim 0. x y x y       → → 这里 = =      z A x B y x y = + + +   , (4) 0 d | d ( , ) . P 0 0 z f x y A x B y = = +   (2) 0 为 f P 在 的全微分, 记作 可作为全增量 z 的近似值, 于是有近似公式: 在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式： 0 0 0 0 f x y f x y A x x B y y ( , ) ( , ) ( ) ( ).  + − + − (3)

例1 考察 f(x,j)= xy在任一点(xo,yo)的可微性解f 在点(xo,yo)处的全增量为Af(xo, yo) =(xo +x)(yo +Ay) -xoyo= yoAx + xoAy+ AxAy.[AxAy l1Axl 1Ayl≤p→0(p→0),由于pppp因此△xAy=o(p).从而f 在(xo,yo)可微,且d f = yoAx +xoAy后页返回前页

前页 后页 返回 例1 考察 0 0 f x y xy x y ( , ) ( , ) . = 在任一点 的可微性 解 f 在点 0 0 ( , ) x y 处的全增量为 0 0 0 0 0 0    f x y x x y y x y ( , ) ( )( ) = + + − 0 0 = + + y x x y x y     . 由于 | | | | | | 0 ( 0), x y x y           =  → → 0 0 因此 从而 在 可微 且  x y o f x y = ( ). ( , ) ,  d . 0 0 f y x x y = +  

二、偏导数由一元函数微分学知道:若 f(x)在x,可微,则f(xo +△x) - f(xo)= A△x+o(△x), 其中 A= f'(x,).现在来讨论：当二元函数f(x,y）在点（xo,yo）可微时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值?为此在(4)式中先令 △y=0 (△x ≠ 0),这时得到 f关于x的偏增量为△xz,z = A△x +α△x 或=A+α.△x后页返回前页

前页 后页 返回 二、偏导数 由一元函数微分学知道: 若 0 f x x ( ) , 在 可微 则 0 0 f x x f x A x o x ( ) ( ) ( ), + − = +    其中 0 A f x = ( ). f x y ( , ) 0 0 现在来讨论: 当二元函数 在点 ( , ) x y 可微 时, (1) 式中的常数 A, B 应取怎样的值？ 为此在(4)式中先令   y x f =  0 ( 0), 这时得到 关 于 的偏增量为 x . x x z z A x x A x        = + = + 或

现让△x→0,由上式便得A的一个极限表示式A= = lim f(x + Ax,ye)- f(o,). (5)A = lim.AxAx→0 △xAx→0容易看出，(5）式右边的极限正是关于x的一元函数f(x,Jo)在x=x 处的导数类似地,在(4)式中令 △x=0 (△y≠0),又可得到Ayz= lim, I(xo, o + Av)- (o, o), (6)B = limAyAy-0 AyAy→0它是关于y的一元函数f(xo,)在y=yo处的导数二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自后页返回前页

前页 后页 返回 现让 由上式便得 的一个极限表示式 x A →0, 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim . x x x z f x x y f x y A   x x   → →   + − = = (5) 容易看出, (5) 式右边的极限正是关于 x 的一元函数 0 0 f x y x x ( , ) . 在 处的导数 = 类似地, 在 式中令 (4) 0 ( 0),   x y =  又可得到 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim , y y y z f x y y f x y B   y y   → →   + − = = (6) 它是关于 y 的一元函数 0 0 f x y y y ( , ) . 在 处的导数 = 二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自

变量的导数称为该函数的偏导数，一般定义如下：定义 2设函数z=f(x,y),(x,y)eD, 且 f(x,y)在x.的某邻域内有定义.则当极限Arz= lim, I(xo +Ax,yo)- f(xo, o)(7)limAxAx→0 △xAx-→0存在时,称此极限为f在点(x,y)关于x的偏导数记作afazf.(xo,yo), 或0xax(xo,yo)(xo,yo)前页后页返回

前页 后页 返回 变量的导数称为该函数的偏导数, 一般定义如下: 0 x 的某邻域内有定义. 则当极限 存在时, 称此极限为 0 0 f x y 在点( , ) 关于x 的偏导数, 记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , . x x y x y f z f x y x x     或 0 定义 2 设函数 且 在 z f x y x y D f x y =  ( , ), ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim x x x z f x x y f x y   x x   → →   + − = (7)

类似地可定义f在点(x,y)关于y的偏导数：lim, 会 = imS(xo, o +Ay) - I(xo.yo), (7)Ay-0 AyAyAy→0记作afazf,(xo,yo), 或oyl(xo,0)' Qy(xo,yo)a?注1 这里是专用于偏导数的符号，与一元ax'ayd函数的导数符号相仿，但又有区别dx前页后页返回

前页 后页 返回 类似地可定义 0 0 f x y 在点( , ) 关于 y 的偏导数: 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim , y y y z f x y y f x y   y y   → →   + − = (7) 记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , . y x y x y f z f x y y y     或 注1 , x y     这里 是专用于偏导数的符号,与一元 d dx 函数的导数符号 相仿,但又有区别

注2 在上述定义中,在点(xo,Jo)存在对x(或y)的偏导数，此时f至少在((x,y) [y=yo,/x-x <)(或((x,) |x=xo,ly-yl<))上必须有定义.显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在界点处则往往无法考虑偏导数若函数z=f(x,J)在区域D上每一点(x,)都存在对x(或对y)的偏导数,则得到 z= f(x,y)在 D上对x(或对y)的偏导函数(也简称偏导数),记作后页返回前页

前页 后页 返回 注2 在上述定义中, 0 0 f x y 在点( , ) 存在对 x (或 y) 的偏导数 此时 至少在 , f ( , ) , | | x y y y x x = −  0 0   ( 或 上必须有定义  ( , ) , | | . x y x x y y = −  0 0   ) 显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数． 若函数 z f x y = ( , ) 在区域 D 上每一点 ( , ) x y 都存在 对 x (或对y)的偏导数, 则得到 z f x y = ( , ) 在 D 上 对 x (或对y) 的偏导函数 (也简称偏导数), 记作

af(x,y)af(x,y)f.(x,y) 或或f,(xaxyafaf,3y, 或也可简单地写作fx，zx，或yax偏导数的几何意义：z=f(x,)的几何图象通常是三维空间中的曲面,设 P(xo,yo,zo)为此曲面上一点,其中 zo = f(xo,Jo). 过点 P 作平面 y=yo,它与曲面相交得一曲线：C: y=yo, z= f(x,y)后页返回前页

前页 后页 返回 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , x y f x y f x y f x y f x y x y           或 或 , , , , . x x y y f f f z f z x y           也可简单地写作 或 或 偏导数的几何意义: z f x y = ( , ) 的几何图象通常是 三维空间中的曲面, 设 0 0 0 0 P x y z ( , , ) 为此曲面上一 0 0 0 z f x y = ( , ) . 0 0 点, 其中 过点 作平面 它与 P y y = , 曲面相交得一曲线： 0 C y y z f x y : , ( , ). = =