《数学分析》课程教学课件（讲稿）拉格朗日定理和函数的单调性

81拉格朗日定理和函数的单调性中值定理是联系f与f的桥梁.有了中值定理，就可以根据f在区问上的性质来得到f在该区问上的整体性质。一、罗尔定理与拉格朗日定理二、函数单调性的判别巡回后页前页

前页 后页 返回 §1 拉格朗日定理和 函数的单调性 一、罗尔定理与拉格朗日定理 二、函数单调性的判别 质来得到 f 在该区间上的整体性质. 中值定理, 就可以根据 在区间上的性 中值定理是联系 与 f 的桥梁. 有了 返回

一、罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1（罗尔中值定理）设函数f(x)在区间[a,b]上满足：(i)在闭区间[a,bl上连续(ii)在开区间（a,b)上可导：(ii) f(a) =f(b).那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点口使f dx)= 0.巡回后页前页

前页 后页 返回 定理6.1(罗尔中值定理) 一、罗尔定理与拉格朗日定理 那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点￾ , 使 (i) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导; (iii) f(a) = f(b)

(1)几何意义据右图，因为f (a) =f (b),B所以线段AB是水平的.由几何直观可以0看出，曲线上至少有bax一点处的切线也是水点击上图动画演示平的.巡回后页前页

前页 后页 返回 (1) 几何意义 据右图, 平的. 一点处的切线也是水 看出, 曲线上至少有 的.由几何直观可以 所以线段 AB 是水平 因为 点击上图动画演示 f (a) = f (b)

(2) 条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少一个，结论不一定成立.V0fx<1x,i区(a) 函数 f(x)=1 0,x=1在[0,1] 上满足条件 (i)X0黏),但条件()不满足,该数在 (0 1) 上的导数恒为1,巡回后页前页

前页 后页 返回 (2) 条件分析 定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不 在 [0, 1] 上满足条件 (ii) 和 一定成立. 数在 (0, 1) 上的导数恒为1. (iii), 但条件 (i) 不满足,该 函

(b) f(x)=/ xl, x1 [-1, 1l满足条件(i)和(ii),但条)却遭到破坏（f在x=0X10l处不可导）结论也不成立(c) f(x)=x, xI [0, 11 满足条件(i)和(ii),但条件遭到破坏，该函数在（0,1)X01内的导数恒为1.后页巡回前页

前页 后页 返回 满足条件 (i) 和 (iii), 但条 件 条件 (i) 和 (ii),但条件 (iii) 满足 处不可导), 结论也不成立. (ii) 却遭到破坏 ( f 在 x = 0 内的导数恒为1. 却遭到破坏,该函数在 (0, 1)

注函数f(x)=xD(x)在区间[-1,2]上三个3条件都不满足，却仍有2f□(0)-0.这说明罗尔定理的三个条件是充分条件，而不是必要条件01-12x巡回后页前页

前页 后页 返回 -1 O 1 2 1 2 3 4 条件都不满足, 却仍有 f ￾ (0)=0. 这说明罗尔定 理的三个条件是充分 条件, 而不是必要条件

定理的证明因为f(x)在[a,bl 上连续,所以由连续函数的最大、最小值定理,f(x)在[a,bl 上能取得最大值 M 和最小值m.下面分两种情形加以讨论情形1 M=m. 此时 f(x) 恒为常数,它的导函数于零,此时可在(a,b)内随意取一点口,就有f(0)=0.巡回后页前页

前页 后页 返回 定理的证明 因为 f (x) 在 [a, b] 上连续,所以由连续函数的最大、 情形1 M = m.此时 f (x) 恒为常数,它的导函数 恒 f ￾ (￾ ) = 0 . 小值 m .下面分两种情形加以讨论. 最小值定理,f (x) 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和 最 等于零,此时可在 (a, b) 内随意取一点 ￾ , 就有

情形2m<M.既然最大、最小值不等，从而最大值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最大值不在端点取到，故存在xI（a,b),使得f (x) = M.因为在区间内部取到的最大值一定是极大值，所以由费马定理，得fdx)= 0.巡回后页前页

前页 后页 返回 情形2 m < M. 既然最大、最小值不等,从而最大 因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以 大值不在端点取到,故存在 使得 值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最 由费马定理,得

例1设p(x)是一个多项式,且方程p(x)=0 没有,则方程p(x)=0 至多有一个实根，且这个根的重数为 1.证 设 p(x)有两个实根xj,x2,x<x2,由于 p(x)是多项式，所以p(x)在[x，x,]上满足罗尔定理的条件，从而存在xI（a,b），使得pdx)= 0,这与条件矛盾巡回前页后页

前页 后页 返回 这与条件矛盾. 例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p'(x) = 0 没有 实 证 重数为 1 . 根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根，且这个根的

又若p(x)有一个k次重根xo，则p(x) =(x - xo)h pi(x), k 3 2.因为 pdx)= k(x - x,)k-p(x)+(x- x,)" p(x)所以 pdxo)=0,矛盾邀回后页前页

前页 后页 返回 矛盾