《数学分析》课程教学课件（讲稿）连续函数的性质

S2连续函数的性质在本节中，我们将介绍连续函数的局部性质与整体性质.熟练地掌握和运用这些性质是具有分析修养的重要标志一、连续函数的局部性质二、闭区间上连续函数的性质三、反函数的连续性四、一致连续性巡回后页前页

前页 后页 返回 §2 连续函数的性质 在本节中,我们将介绍连续函数的局 一、连续函数的局部性质 四、一致连续性 三、反函数的连续性 二、闭区间上连续函数的性质 这些性质是具有分析修养的重要标志. 部性质与整体性质.熟练地掌握和运用 返回

一、连续函数的局部性质所谓连续函数局部性质就是指：若函数f在点x连续（左连续或右连续），则可推知f在点x，的某个局部邻域（左邻域或右邻域）内具有有界性、保号性、四则运算的保连续性等性质后页返回前页

前页 后页 返回 一、连续函数的局部性质 所谓连续函数局部性质就是指: 连续(左连续或右连续),则可推知 f 在点 x0的某 号性、四则运算的保连续性等性质. 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保

定理4.2（局部有界性）若函数f在点x，连续，则f在某邻域U(x）上有界证 因为 f 在x,连续，所以对e =1,存在d>0,当/ x- x,/0"，这样可求得lf(x)|的一个明确的上界后页巡回前页

前页 后页 返回 故 | f (x) | 的一个明确的上界. 证 注意:我们在证明有界性时, 而不是用术语 定理4.2（局部有界性） 则

定理4.3（局部保号性）若函数f在点x，连续，且f(x,)>0(或 f(x)0, 当 xi (x,-d,x,+d) 时,(或 f(x)r(证因为f 在x,连续,所以对正数e,=f(x)-r存在d>0,当 xi(x,-d,x,+d)时,有I f(x)- f(x,)/<e. = f(x)-r,前页后页巡回

前页 后页 返回 定理4.3（局部保号性） 则对任意一个满足 证

于是证得 f(x)>r>0.注 在具体应用保号性时,我们经常取r=f(xo)2定理4.4（连续函数的四则运算）若函数f(x),g(x)均在点x连续，则函数(1) f(x)+ g(x),(2) f(x)- g(x),(3) f(x) xg(x),(4) f(x)/ g(x), g(x,) 1 0在点x，也是连续的后页巡回前页

前页 后页 返回 注 在具体应用保号性时,我们经常取 于是证得 定理4.4（连续函数的四则运算）

此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得到，具体过程请读者自行给出我们知道,常函数y=c与线性函数y=x都是连续函数，,故由四则运算性质，易知多项式函数P(x)=a, +a,x+L +a,x"也是连续函数后页邀回前页

前页 后页 返回 此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得 也是连续函数. 我们知道,常函数 与线性函数 都是 R 上 到, 具体过程请读者自行给出. 的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数

同理，有理函数P(x) a, +a,x+L +a,x"Q(x) b, +b,x+L +bmxm（分母不为零）同样是连续函数下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下是不变的若函数f(x）在点x,连续g(u）在点u定理4.5连续,u,= f(x,). 则复合函数g(f(x)在点x,连续巡回前页后页

前页 后页 返回 同理,有理函数 (分母不为零)同样是连续函数. 下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下 定理4.5 是不变的

证由于g(u)在点 u,连续,因此对于任意的 e>0.存在d,>0,当|u-u,/0，存在d>0,当/x-x,/<d 时,有I f(x)- f(x,)/=|u- u, /<d于是 g(f(x)- g(f(x, ))/=l g(u)- g(u,) / <e,后页巡回前页

前页 后页 返回 证 于是

这就证明了g(f(x））在点x,连续对这个定理我们再作一些讨论，以加深大家对该定理的认识(1) 由lim g(u)=A, lim f(x)=uo,不一定有uRuoxRXolim g(f(x)) = A.x?Xo请大家仔细观察定理4.5的证明，看看此时究竟哪里通不过巡回后页前页

前页 后页 返回 对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定 请大家仔细观察定理4.5 的证明, 看看此时究竟哪 理的认识. 里通不过

(2) 若g(u)在u,连续,lim f(x)=uo，则有XRXolim g(f(x))= g(uo)= g( lim f(x),(*)xRXoXRXo事实上，只要补充定义（或者重新定义）f（x）=u使得f(x)在点x，连续.应用定理4.5,就得到所需要的结论. 若将 lim f(x)=u,改为x?Xolim f(x)=uo, lim f(x)=u, 或 lim f(x)=uo ,XR +YR-R（*）式相应的结论仍旧是成立的巡回前页后页

前页 后页 返回 应用定理4.5,就得到所 (*)式相应的结论仍旧是成立的. 则有 需要的结论. 改为 事实上,只要补充定义（或者重新定义）