《数学分析》课程教学课件（讲稿）数列极限的概念

S1数列极限的概念数列极限是整个数学分析最重要的基础之一，它不仅与函数极限密切相关，而且为今后学习级数理论提供了极为丰富的准备知识一、数列的定义二、一个经典的例子三、收敛数列的定义四、按定义验证极限五、再论“-N”说法一些例子微回后页前页

前页 后页 返回 数列极限是整个数学分析最重要的基础 §1 数列极限的概念 一、数列的定义 五、再论 “￾ - N ” 说法 四、按定义验证极限 三、收敛数列的定义 备知识. 为今后学习级数理论提供了极为丰富的准 之一, 它不仅与函数极限密切相关，而且 返回 二、一个经典的例子 六、一些例子

一、数列的定义若函数f的定义域为全体正整数的集合N.，则称f :N. ? R 或 f(n), ni N为数列.因为N的所有元素可以从小到大排列出来所以我们也将数列写成ar,a2,L ,an,L ,或简记为a.这里nln2称为数列a的通项巡回前页后页

前页 后页 返回 为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来 , 若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 则称 或简记为 {an }. 这里 an 所以我们也将数列写成 称为数列 {an } 的通项. 一、数列的定义

二、一个经典的例子古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用了一句话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”．它的意思是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去我们把每天截下部分（或剩下部分）的长度列出：一,L，第n天截下第一天截下第二天截下.2°，L·这样就得到一个数列：2h返回前页后页

前页 后页 返回 二、一个经典的例子 样的过程可以无限制地进行下去. 我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出： 第一天截下 第二天截下 第n天截下 这样就得到一个数列: 古代哲学家庄周所著的《庄子 · 天下篇》引用了 一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭” . 它的 意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这

1H或L,i22221H容易看出：数的通项12随着n的无限增列大而无限趋于0后页返回前页

前页 后页 返回 容易看出: 数 列 随着 n 的无限增 大而无限趋于 0

三、收敛数列的定义一般地说,对于数列α,，若当n充分变大时能无限地接近某个常数a，“则称α,收敛于a下面给出严格的数学定义定义1 设{a,为一个数列,a为一个常数,若对于任意的正数e>0,总存在正整数N,使当 n>N时lan-aKe,则称数列ia,收敛于a，又称a为数列a,的极限，返回前页后页

前页 后页 返回 三、收敛数列的定义 下面给出严格的数学定义. 定义1 为一个数列, a 为一个常数, 若对于 任意的正数 ,总存在正整数 N, 使当 n >N 时, 则称数列 收敛于a , 又称 a 为数列 的 极限, 一般地说,对于数列 , 若当 n 充分变大时, 能无限地接近某个常数 an a , 则称 收敛于 a

记作liman =anRY(或a,?a,n??).aNtCEa,XOa-若ia不收敛，则称ia为发散义1这种陈述方式，俗称为“ -N"说法返回后页前页

前页 后页 返回 记作 若 不收敛, 则称 为发散 数列. 注 定义1 这种陈述方式，俗称为 “￾ - N ”说 法

四、按定义验证极限为了加深对数列收敛定义的了解，下面结合例题加以说明，希望大家对“口-N”说法能有正确的认识例1用定义验证：lim=0nRYn-0分析对于任意正数e，要使0élu当n>N时，证对于任意的正数口取NBet11. 0<e,所以=0.limnRYnn返回前页后页

前页 后页 返回 四、按定义验证极限 以说明, 希望大家对 “￾ - N ”说法能有正确的认 识. 例1 用定义验证: 分析 对于任意正数 要使 只要 证 对于任意的正数 ￾ , 所以 为了加深对数列收敛定义的了解, 下面结合例题加

例2 用定义验证 lim q"=0 （00(不妨设0N时,有Iq"- 0/<e.这就证明了limq"=0.nRY返回前页后页

前页 后页 返回 例2 用定义验证 分析 对于任意的正数 ￾ , 要 使 只要 这就证明了 证

2例3用定义验证limnRY分析 任给 e>0, 由n?n+73n2- n-7 3//33(3n- n- 7)当 n3 7时, n+7± 2n, 3n2- n- 73 3n2- 2n3 2n22nn+71f故要使成立，<e23n3(3n2 - n- 7)6n1只要n即可.3e返回前页后页

前页 后页 返回 只要 即可. 例3 用定义验证 分析 故要使 成立

注意解这个不等式是在n37的条件下进行的证对于任意的正数口，取i-éluuN-mas170当n>N时,有h?客Le3n- n- 7 3即得lim3n2- n-7 3nRY福中返回前页后页

前页 后页 返回 证 对于任意的正数 ￾ , 取 即得 注意 解这个不等式是在 的条件下进行的