《数学分析》课程教学课件（讲稿）柯西中值定理和不定式极限

S2 柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理，本节用它来解决求不定式极限的问题。一、柯西中值定理二、不定式极限返回前页后页

前页 后页 返回 §2 柯西中值定理和 不定式极限 一、柯西中值定理 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一 定式极限的问题. 般的中值定理，本节用它来解决求不 二、不定式极限 返回

一、柯西中值定理定理6.5(柯西中值定理)设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上满足：(i) f(x),g(x) 在闭区间[a, bl 上连续;(ii)f(x),g(x)在开区间 (a, b)上可导;(ii) f"2(x)+ g"2(x) > 0 ;(iv) g(a) ± g(b) .则在开区间(α,b)内必定（至少)存在一点5，使得前页后页返回

前页 后页 返回 定理6.5(柯西中值定理) 设函数 f (x) , g(x) 在区间 [a , b] 上满足: (i) f(x) , g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续; (iii) ( ) ( ) 0 ; 2 2 f  x + g  x  (iv) g(a)  g(b) . 则在开区间 (a , b) 内必定 (至少) 存在一点  , 使得 一、柯西中值定理 (ii) f(x) , g(x) 在开区间 (a, b) 上可导;

f'()f(b)- f(a)g()g(b) -g(a)几何意义首先将f，g这两个函数视为以x为参数的方程u= g(x), v= f(x)它在0-uv平面上表示一段曲线.由拉格朗日定理的几何意义，存在一点（对应于参数）的导数dy恰好等于曲线端点弦AB的斜率（见下图）：dulx=5后页返回前页

前页 后页 返回 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) f f b f a g g b g a    − =  − 几何意义 首先将 f , g 这两个函数视为以 x 为参数的方程 u = g(x), v = f (x). 它在 O- uv 平面上表示一段曲线. 由拉格朗日定理 恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率(见下图): d d x v u = 的几何意义, 存在一点 ( 对应于参数  ) 的导数

kAB=-(b)-T(a)g(b)-g(a)VP(g(5), f())B(g(b), f(b)A(g(a) , f(a)0u返回前页后页

前页 后页 返回 . ( ) ( ) ( ) ( ) g b g a f b f a kAB − − = P(g( ), f ( )) B(g(b), f (b)) A g a f a ( ( ) , ( )) O u v • • •

证作辅助函数F(x)= f(x)- f(a) _ f(b)- f(a)(g(x) -g(a)g(b)-g(a)显然,F(x)满足罗尔定理的条件,所以存在点E(a,b), 使得 F'()=0, 即I'(5) - f(b) - f(a)g(5) = 0.g(b)-g(a)因为g()+0(否则 f()也为零,与条件(ii)矛盾),f'() _f(b)-f(a)从而g() g(b)-g(a)前页后页返回

前页 后页 返回 证 作辅助函数 ( ( ) ( )). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g a g b g a f b f a F x f x f a − − − = − − 显然, F(x) 满足罗尔定理的条件, 所以存在点  (a , b), 使得 F( ) = 0 , 即 ( ) 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  = − −   − g  g b g a f b f a f 因为g f   ( ) 0( ( ) (iii) ),    否则 也为零,与条件 矛盾 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b g a f b f a g f − − =     从而

例1 设函数 f 在区间[a, bl(a>0)上连续,在(a,b上可导,则存在 ε(a,b),使得bf(b)-f(a) =≤f'()lna证 设g(x)= ln x,显然f(x), g(x) 在 [a, b] 上满足柯西中值定理的条件,于是存在E（a,b),使得f(b)-f(a) _f'()1In b- In a5变形后即得所需的等式后页返回前页

前页 后页 返回 例1 设函数 f 在区间 [a, b](a > 0) 上连续, 在(a, b) ( ) ( ) ( )ln . a b f b − f a =  f   证 设 g(x) = ln x , 显然 f (x), g(x) 在 [a, b] 上满足 柯西中值定理的条件,于是存在  (a , b) , 使得 , 1 ( ) ln ln ( ) ( )  f  b a f b f a  = − − 变形后即得所需的等式. 上可导  (a , b) , 则存在 , 使得

二、不定式极限在极限的四则运算中，往往遇到分子，分母均为无穷小量（无穷大量）的表达式.这种表达式的极限比较复杂，各种结果均会发生.我们将这类极限统称为不定式极限.现在我们将用柯西中值定理来研究这类极限，这种方法统称为洛必达法则型不定式极限前页后页返回

前页 后页 返回 在极限的四则运算中, 往往遇到分子, 分母均为无 0 1. 0 型不定式极限 二、不定式极限 究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则. 称为不定式极限. 现在我们将用柯西中值定理来研 比较复杂，各种结果均会发生. 我们将这类极限统 穷小量 (无穷大量) 的表达式. 这种表达式的极限

定理6.6若函数f和g满足：(i) lim f(x)= lim g(x) = 0 ;x-xox-xo(i)在点x.的某空心邻域U(x.)内两者均可导，且 g(x)±0 ;(x)=A (A 可以为实数， ±0, ) ,(ii) limg(x)x-→Xo天则f(x) = lim '()= A.limg(x)t+xo g'(x)X→X0证 我们补充定义 f(x)=g(xo)=0, 所以 f,g前页后页返回

前页 后页 返回 定理6.6 若函数 f 和g满足： 0 0 (i) lim ( ) lim ( ) ; 0 x x x x f x g x → → = = 0 0 (ii) ( ) 在点 x U x 的某空心邻域 内两者均可导， 且 g x ( ) ;  0 ( ) 0 ( ) (iii) lim , . ( ) x x f x A A → g x  =    可以为实数， 则 0 0 ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x x x x f x f x A → → g x g x  = =  证 0 0 我们补充定义 所以 f x g x f g ( ) ( ) , , = = 0

在点x连续.任取xEUxo),则在区间[xo,x([x,xol)上应用柯西中值定理，有f(x) f(x)-f(x) f'()（介于x与x之间）g(x)g(x)-g(x)g'()令x→x，故→x，根据归结原理f()f'(x)f(x) = limlimAlimg(x) ~ t-o g(5)x-xo g'(x)x-→xo注将定理1中的x→x改为x→x，x→xo前页后页返回

前页 后页 返回 . ( ), [ , ] 在点 x0 连续 任取 x U x0 则在区间 x0 x   ([x, x0 ])上应用柯西中值定理，有 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( . ( ) ( ) ( ) ( ) f x f f x f x x x g x g x g x g    −  = = −  介于 与 之间) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim lim . ( ) ( ) ( ) x x x x x x f x f f x A g x g g x  → → →    = = =   注 将定理1中的 x → x0 改为 x → x0 + ，x → x0 −， 0 0 令 x x x → → , , 故 根据归结原理

x→+o0，x→-8 的情形,只要修正相应的邻域结论同样成立1- tanx例 1 求limsin4x0解容易验证：这是型不定式。一个一0-secx-2 1tanxlimlim4cos4x-42sin4x元一4元一4x→x-→0-f'(x)仍是如果lim型不定式极限，只要满足洛Og'(x)x-xo后页返回前页

前页 后页 返回 x → +, x → − 的情形,只要修正相应的邻域， 结论同样成立. 例１ π 4 1 tan lim . sin4 求 x x → x − 解 0 0 容易验证：这是一个 型不定式 . 2 π π 4 4 1 tan sec 2 1 lim lim . x x sin4 4cos4 4 2 x x → → x x − − − = = = − 0 0 0 ( ) lim , ( ) x x f x g x 如果 仍是 型不定式极限 只要满足洛 →  