《数学分析》课程教学课件（讲稿）收敛数列的性质

S2收敛数列的性质本节首先考察收敛数列这个新概念有哪些优良性质？然后学习怎样运用这些性质惟一性一二三四1有界性保号性保不等式性五、、迫敛性夫逼原理六、极限的四则运算七、一些例子前页返回后页

前页 后页 返回 一、惟一性 §2 收敛数列的性质 本节首先考察收敛数列这个新概念有哪 七、一些例子 六、极限的四则运算 五、迫敛性(夹逼原理) 四、保不等式性 三、保号性 二、有界性 些优良性质？然后学习怎样运用这些性质. 返回

一、惟一性定理2.2若(a,收敛,则它只有一个极限证 设a是ia,的一个极限下面证明对于任何定数b≠a,b不能是la,的极限，若 a，b都是a,的极限，则对于任何正数 ε>0,ENi,当 n>N,时,有(1)lan-alN,时，有后页返回前页

前页 后页 返回 一、惟一性 定理 2.2 若 { } an 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 是{ }的一个极限. a an 下面证明对于任何 定数 , 不能是 { }的极限 . b  a b an 若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数  >0,  N2 ,当 n  N2 时，有  N1 ,当 n  N1 时，有 | a − a |   ; (1) n

(2)Ian -b/N时(1), (2)同时成立,从而有[a-b/≤/a,-al+/a,-b/<2.因为ε是任意的，所以a=b后页返回前页

前页 后页 返回 因为  是任意的，所以 a = b . max{ , }, 当 n > N 时 (1), (2)同时成立, 令 N = N1 N2 从而有 | a − b |   . (2) n | a − b |  | a − a | + | a − b |  2 . n n

二、有界性定理 2.3 若数列 (a,收敛,则 (a, 为有界数列即存在 M>0, 使得|a,/≤M, n=1, 2,.证 设 lim a,=a,对于正数 ε=1, 3N,n> N时,有nla,-al<l, 即a-1<a,<a+1.若令 M = maxi I a I,/a, ,...,|a, l,/ a-1],/ a+1},则对一切正整数n,都有la,/≤M.后页返回前页

前页 后页 返回 二、有界性 即存在 0, | | , 1, 2, . M a M n   = 使得 n 证 lim , n n a a →  设 = 对于正数  =   1, , N n N时,有 | | 1, n a a −  1 1 . n 即 a a a −   + 若令 M a a a a a = − + max{ | |,| |, ,| |,| 1|,| 1| }, 1 2 n 则对一切正整数 n , 都有 | | . n a M 定理 2.3 若数列 {an }收敛, 则 {an } 为有界数列

注 数列(-1)"}是有界的,但却不收敛.这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条件.前页后页返回

前页 后页 返回 件. 注 数列 {( 1) } n − 是有界的, 但却不收敛. 这就说 明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条

三、保号性设 lim a,=a，对于任意两个实数 b,c，定理2.4n0bN时,b0,N,当n>N时,b≤a-0(或a">0 (或a,<"<0)这也是为什么称该定理为保号性定理的原因后页返回前页

前页 后页 返回 三、保号性 定理 2.4 lim , n n a a →  设 = 对于任意两个实数 b, c , 证 取  = − −    min{ , } 0, , , a b c a N n N 当 时 注 若 a  0 (或a  0), 我们可取 ( ) , 2 2 a a b c = = 或 0 ( 0 ) . 2 2 n n a a 则 a a     或 这也是为什么称该定理为保号性定理的原因. . n b a a a c  −   +    n , 故 b a c   , 则存在 N, 当 n > N 时, b a c. b a c    n 

0lim例1 证明WWn!n-→(1/)"=0， 所以由证对任意正数 ε，因为 limn!n-00定理2.4,3N>0,当 n>N时.(e)"<1, 即<8.n!Vn!0这就证明了limCnNn!n-00后页返回前页

前页 后页 返回 例1 证明 0. ! 1 lim = → n n n 证 对任意正数  , (1 ) lim 0 , ! n n n  → 因为 = 所以由 (1 ) 1, ! n n   1 . ! n n 即   这就证明了 0. ! 1 lim = → n n n 定理 2.4,    N n N 0, , 当 时

四、保不等式性定理2.5 设a,,1b, 均为收敛数列，如果存在正数N,,当n>N,时，有a,≤b,,则liman≤limbnn→0n-80a-b证 设 lima, =a, limb, =b. 若bN,当 n>N时a-ba+ba-b a+bba2222故a,>b,,导致矛盾.所以 a≤b.后页返回前页

前页 后页 返回 四、保不等式性 定理 2.5 { }, { } n n 设 a b 均为收敛数列, 如果存在正 0 0 , , , 数N n N a b 当   时 有 n n lim lim . n n n n a b → → 则  证 lim , lim . n n n n a a b b → → 设 = = , , 2 a b b a  − 若  = 取 , 2 2 a b a b an a + = −  − , 2 2 a b a b bn b + = −  + , n n 故 a b  导致矛盾. 所以 a b  . 0 由保号性定理, , , 存在 N N n N   当 时

注若将定理2.5中的条件a,≤b,改为a,<b也只能得到lima≤limbn28n8这就是说，良即使条件是严格不等式，结论却不一定是严格不等式21，但m/-/m二=0例如，虽然Nn8nnon前页后页返回

前页 后页 返回 是严格不等式. 注 若将定理 2.5 中的条件 改为 , n n a b  n n a  b 这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 也只能得到 lim lim . n n n n a b → →  例如 , 虽然 1 2 , n n  但 1 2 lim lim 0 . n n →  →  n n = =

五、迫敛性（夫逼原理）定理 2.6 设数列(al,(b,都以 a为极限,数列(c,)满足：存在 N。,当 n>N,时,有 a,≤c,≤b,，则(c} 收敛,且 lim c,=a.证 对任意正数ε,因为 lim a,=limb,=a,所以分n8n-→0别存在 N,N,,使得当 n>N,时,a-εN,时, b, N时,a-<a,≤c,≤b,<a+.这就证得前页后页返回

前页 后页 返回 五、迫敛性 (夹逼原理) 定理 2.6 设数列 { },{ } n n a b 都以 a 为极限, { }n 数列 c {c } lim c a . n n n = → 收敛，且 证 对任意正数 → → = = n n n n  ,因为 lim a limb a , 所以分 , , , 别存在 N1 N2 使得当 n  N1 时 ; a −  an  2 . n N b a n 当 时,   +  max{ }, 取 N = N0, N1, N2 n  N a −   a  c  b  a +  . 当 时， n n n 这就证得 满足: 存在 , , , 0 0 n n bn N 当 n  N 时 有 a  c  则