《数学分析》课程教学课件（讲稿）可积条件

83可积条件判别一个函数f(x)在[a,bl上是否可积，就是判别极限，lm2, [(t)Dx,是否存在. 在实际应用中,=1直接按定义来判定是困难的·我们希望由函数本身的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别函数的可积性为此，先给出可积准则，并以此证明有界性是可积的必要条件而非充分条件，连续性是可积的充分条件而非必要条件。岚回前页后页

前页 后页 返回 判别一个函数 f (x) 在[a, b]上是否可积,就是判别 §3 可积条件 的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别 极限 是否存在. 在实际应用中， 直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身 函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明 有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是 可积的充分条件而非必要条件. 返回

定理9.1（可积必有界）上必若函数f 在[α,b 上可积，则[,b]有界，证设bof(x)dx= J.0由定义,对e =1>0,$d>0,只要 T<d,无论T与x,i [xi.1, x,l (i=1,2,L ,n)如何选取,都有i (s,Ar-k1.i=1于是巡回后页前页

前页 后页 返回 定理9.1￾￾￾(可积必有界） 若函数￾￾￾￾在￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾上可积，则￾￾￾￾在￾￾￾￾￾￾￾￾￾上必 有界. 证￾￾设 由定义,￾￾对 于是

[a (8, 1 /e101+-M.i=1倘若f(x)在[a,bl上无界 则必有k,使得f(x)在[x-1,x,]上无界.令G= a f(x,)Ax;ilk故必存在x,[x-,x,,满足M +G[f(x)>DXk巡回后页前页

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A于是i-13f(x)Ax-a f(x,)Ax)ikM+GAx - G = M,DXk矛盾.以下例子告诉我们，有界性并不是可积的充分条件巡回后页前页

前页 后页 返回 于是 矛盾. 以下例子告诉我们,￾有界性并不是可积的充分条件

例1试用反证法证明：狄利克雷函数D(x）在任何区间[a,b]上不可积证 若 D(x)在[a,bl 上可积,则 $JI R,$ d >0.当T<d 时,对任何x,i [xi.1,x,l, 有nalD(x,)Ax,- J <i-1现任取x, i Q C[x.1,x,l, i=1,2,L ,n,则nna D(x,)Ax, -a Ax,=-1.i=11-1后页巡回前页

前页 后页 返回 证￾￾若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则

又任取h,1 [x.,x,11Q,i=1,2,L ,n, 则na Dh,)Ax, =0.i-1n于是a D(x,)Ax, - a D(h,)Axr, =1, 而这与i-1i-1OD(x,)Ax, - a D(h,)Ar,i-1i-11ta D(x,)Ax,-+aD(h,Ax-j<+-i-1i-1相矛盾，所D(x)在[a,b]上不可积以后页巡回前页

前页 后页 返回 于是 而这与 相矛盾,￾￾所 以

定义2 设 f 在[a,bl上有界,对任意分割T:a=x,<x,<...<x,=b,称中为f关于分割T的上和,其S(T) =a M,Ax,i-1M =sup(f(x)/xi [x- , xl), i=1, 2,L n;称 s(T)=a m;Ar,为f关于分割 T 的下和,其中i-1m, =inf (f(x)/x [x.1,xl), i=1, 2,L n;称 w, =M-m, (i=1,2,L n)为f 在[x.1,xl上的振幅后页巡回前页

前页 后页 返回 称 为 f 关于分割 T 的上和,其 中 称 为 f 关于分割 T 的下和,其中 定义2 对任意分割

振幅反映了函数在区间内的变化范围，是一个与连续性相关联的概念定理9.3（可积准则）函数f在[a,bl上可积的充要条件是："e>0,S分割T,使S(T)- s(T)=a (M, - m,)Ar, =-a w,Ax, <e.i-1此定理将在本章第六节定理9.15中证明．在用它n证明可积性问题时,有多种方法可使 a w,Dx,<e.i-1后页巡回前页

前页 后页 返回 定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要 条件是： 此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明. 在用它 振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连 续性相关联的概念. 证明可积性问题时,有多种方法可使

常见的有三种方法，下面分别作出介绍，从而第一种方法：每个 w,<b-aw.srna Ax,=e.b-ai-1i-1例如,在[a,bl上一致连续的f,便属于这种情形定理9.4（连续必可积）若f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上可积证f在[a,b]上连续,从而在[a,b]上一致连续.于后页巡回前页

前页 后页 返回 常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 第一种方法: 每个 ，从而 定理9.4（连续必可积） 若 连续，则 可积. 证 连续,从而 一致连续.于

是"e>0, $d>0,"xsx [a,bl,若 x-x<d,则(x9-(x0因此当 [a,bl 上的分割 T满足 T|<d 时,w, = M, - m;=supi f(x9- f(x, xgx [x1, x,1efb- a"oa1ea从而w,Ax,fAxr,=e.b- a i-1i-1巡回前页后页

前页 后页 返回 从而 因此当