《数学分析》课程教学课件（讲稿）平面图形的面积

S1 平面图形的面积本节介绍用定积分计算平面图形在各种表示形式下的面积一、直角坐标方程表示的平面图形的面积二、参数方程表示的平面图形的面积三、极坐标表示的平面图形的面积前页后页返回

前页 后页 返回 §1 平面图形的面积 本节介绍用定积分计算平面图形在 一、直角坐标方程表示的平面图形的 二、参数方程表示的平面图形的面积 三、极坐标表示的平面图形的面积 面积 各种表示形式下的面积. 返回

一、直角坐标方程表示的平面图形的面积用定积分求由直角坐标方程表示的平面图形的面积，通常把它化为x型和v型区域上的积分来计算x 型区域: A=((x,y)l f(x)≤ y≤ f,(x),xe[a,b)其中fi(x),f,(x)是定义在[a,b]上的连续函数y型区域: B=((x,y)/gi(y)≤x≤g,(y),ye[c,d)其中g;(y),g,(y)是定义在[c,dj上的连续函数后页返回前页

前页 后页 返回 1 2 其中 f x f x a b ( ), ( ) [ , ] 是定义在 上的连续函数. x A x y f x y f x x a b 型区域: =    ( , ) | ( ) ( ), [ , ] , 1 2  y B x y g y x g y y c d 型区域: =    ( , ) | ( ) ( ), [ , ] , 1 2  用定积分求由直角坐标方程表示的平面图形的面 积,通常把它化为 x y 型和 型区域上的积分来计算. 1 2 其中g y g y c d ( ), ( ) [ , ] 是定义在 上的连续函数. 平面图形的面积 一、直角坐标方程表示的

x型区域A通过上移yVy= f,(x)+ My = fz(x)4A= f(x)+M≥00x0y= fi(x)bbxaa返回前页后页

前页 后页 返回 x A 型区域 通过上移 a b x y O 2 y f x = ( ) 1 y f x = ( ) A x y O a b 2 y f x M = + ( ) 1 y f x M = +  ( ) 0 A

由定积分的几何意义，可知A的面积为S(A) = ['(f;(x)+ M)dx - ['(fi(x)+ M)dxI'lf,(x) - fi(x)]dx.同理，y型区域B的面积为S(B) = [' Ig,(y) - gi(y)]dy.例1求由抛物线y2=x和2=8y所围图形A的面积解y2 =xJx, = 4x=0S的解为x?=8y(y1=0' (y2 =2)后页返回前页

前页 后页 返回 由定积分的几何意义，可知 A 的面积为 例1 2 2 求由抛物线 y x x y A = = 和 8 . 所围图形 的面积 解   2 1 2 2 1 2 0 4 , . 8 0 2 y x x x x y y y 的解为  = = =  = = =  2 1 ( ) ( ( ) )d ( ( ) )d b b a a S A f x M x f x M x = + − +   2 1 [ ( ) ( )]d . b a = − f x f x x  2 1 ( ) [ ( ) ( )]d . d c S B g y g y y = −  同理,y B 型区域 的面积为

图形A既是x型区域y2(4, 2)又是y型区域J2=xA把A看作x型区域，则8y=t0x福,f,(x)=Vx,fi(x) =8于是2-3r-5(a)-1.-)dx三168643324返回前页后页

前页 后页 返回 于是 ( ) 0 4 24 1 3 2 d 8 2 3 3 4 0 2         = −         = −  x x x x S A x . 3 8 24 64 3 16 = − = 图形 A x 既是 型区域 把 A x 看作 型区域,则 2 4 y = x 2 x 8 y 2 = (4, 2)x y O • A 又是 y型区域. 2 1 2 ( ) , ( ) , 8 x f x f x x = =

把 A 看作为 y型区域,则 gi;(y)=y,g2(y)= 8y,于是Sys(4)-I,(/8y-y) dy-V8.3二3388=V8.2//8333例2 求由 y2=x和x-y=2围成的图形A的面积解 y2=x 和x-y=2的交点为(1,-1)和(4,2).图形A如下图后页返回前页

前页 后页 返回 2 1 2 把 A y g y y g y y 看作为 型区域，则 ( ) , ( ) 8 , = = ( ) 3 3 2 2 2 0 2 2 ( ) 8 d 8 3 3 0 y S A y y y y   = − =  −        于是 . 3 8 3 8 8 3 2 = 8  − = 例2 2 求由 y x x y A = − = 和 2 . 围成的图形 的面积 解 2 y x x y = − = − 和 2 (1, 1) (4,2). 的交点为 和 图形 A 如下图

y2(4, 2)12=xx-y=2--A104x11(1,-1)若把A看作x型区域,则()-1-Vk,05xs1f(x)= ~x,0≤x≤4.x-2,1≤x≤4返回前页后页

前页 后页 返回 1 ,0 1 ( ) , 2 ,1 4 x x f x x x −   =   −   ( ) ,0 4. f2 x = x  x  若把 A x 看作 型区域, 则 2 4 y = x 2 (4, 2) x y O • x y − = 2 • (1, 1) − A

由于 f 分段定义,A 分为二图形 A, 和 A,S(4)-J,(Vx-(-V0)ar-gr0l-二S(A)-J(Vx-(x-2)dxt14 323/213+ 2x2231则3914S(A) = S(A) + S(A) =2332后页返回前页

前页 后页 返回 ( ) 4 2 1 S A x x x ( ) ( 2) d = − − ( ) 1 1 3 2 1 0 0 4 4 ( ) ( ) d . 3 3 S A x x x x = − − = =  1 1 2 由于 f A A A 分段定义, , 分为二图形 和 1 2 4 14 3 9 ( ) ( ) ( ) . 3 3 2 2 S A S A S A = + = + − = 4 2 3 2 1 2 14 3 2 . 3 2 3 2 x x x   = − + = −     则

若把A看作为型区域，则gi(y) = y (-1≤y≤2), g2(y)= y+2 (-1≤y≤2),S(A)=I" (y+2)- y"ldy(p+2y-号月）21号显然,由于gi(y),g2(v)不是分段定义的函数,比较容易计算后页返回前页

前页 后页 返回 . 2 9 1 2 3 1 2 2 1 2 3 = −       = y + y − y 显然,由于 g1 (y), g2 (y) 不是分段定义的函数,比较 若把 A y 看作为 型区域，则 2 1 2 g y y y g y y y ( ) ( 1 2), ( ) 2 ( 1 2). = −   = + −   2 2 1 S A y y y ( ) [( 2) ]d − = + −  容易计算

二、参数方程表示的平面图形的面积x = x(t)设曲线C由参数方程te[α,β] 表示(y= y(t)其中 y(t)连续,x(t)连续可微若x(α)=a,x(β)=b,x(t) 在[α,βI上单调增,则由曲线C及直线x=a.x=b和x轴所围图形的面积为S(A)- f'bvldx- J' lv(t)x(t)dt.后页返回前页

前页 后页 返回 二、参数方程表示的 平面图形的面积 设曲线C 由参数方程 ( ) , [ , ] ( ) x x t t y y t    =    = 表示, 其中 y t x t ( ) , ( ) . 连续 连续可微 若 在 上单调增,则 x a x b x t ( ) , ( ) , ( ) [ , ]     = = 由曲线C x a x b x 及直线 = = , 和 轴所围图形的面 积为 ( ) d ( ) ( )d . b a S A y x y t x t t   = =   