《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章课件_第三章第二节

第三章第二节洛必达法则型未定式型未定式三、其他未定式HIGHEDUCATION PRESS返回机动自录上页下页结束

三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章

0型未定式0定理 1. f(x)与g(x)在U(x)内有定义lim f(x) = 0, lim g(x) = 0X-→XoX-→Xo2) f(x)与g(x)在U(x)内可导,且g(x)≠0f'(x)存在(或为8)limg(x)X→Xof(x)f(x)limlimg'(x)g(x)x→XoX-→XoHIGH EDUCATION PRESS返回机动目录上页下页结束

一、 0 ( ) 3) lim ( ) x x f x  g x   存在 (或为 ) 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x   g x g x    0 2) ( ) ( ) ( ) , f x g x x 与 在 内可导 定理 1. 型未定式 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 f x g x x ( ) ( ) ( ) 与 在 内有定义

: 1) lim f(x)=0, lim g(x)= 0定理条件：x-XoXXo2) f(x)与g(x)在U(x)内可导,且g(x)±0f(x)存在(或为80)3limg'(x)x→Xo证：不妨假设 f(xo)=g(xo)=0,在指出的邻域内任取x ≠ xo 则 f(x),g(x)在以 x, xo为端点的区间上满足柯西定理条件f(x)-f(x)-f(a) f'()(在x,xo 之间)g()g(x)g(x)-g(a)3)f()f()f (x)lim limlimg'()g(x)X→Xog(x)X-→XoX-→XoHIGH EDUCATION PRESS机动上页返回目录下页结束

证: 不妨假设 0 0 f x g x ( ) ( ) 0,   在指出的邻域内任取 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f a g x g x g a    ( ) ( ) f g      0 ( ) lim ( ) x x f g       3) 定理条件: 西定理条件, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) 3) lim ( ) x x f x  g x   存在 (或为 ) 0 2) ( ) ( ) ( ) , f x g x x 与 在 内可导

f(x)f'(x) = limlim洛必达法则g'(x)g(x)x→Xox→Xo推论1.定理1 中x→x换为x → xox→8,x→+8,x→-8x→xo之一，条件2）作相应的修改，定理1仍然成立0f'(x)仍属推论 2. 若 lim型,且f'(x),g(x)满足定一g(x)0理1条件，则f(x)f'(x)xlimlimlimg(x)g(x)g"(x)HIGH EDUCATION PRESS返回定理1目录上页下页结束

推论1. 定理 1 中 0 x x  换为 之一, 推论 2. 若 ( ) lim g ( ) f x x   理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x  , 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x   g x g x    0 x x   0 x x  

e-1lim例.求x?-xx-0x3 -3x+2例.求lim-x2-x+1x>tan x -x例.求limx-0Xsin x例.设f"(x)在点x=α附近连续，f (a+h)+f(a-h)-2f (a)求极限limhh->0HIGH EDUCATION PRESS返回机动自录上页下页结束

例. 求 2 0 1 lim x x e  x x   2 0 tan lim x sin x x  x x  机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求 例. 求         2 0 2 lim h f x x a f a h f a h f a  h       设 在点 附近连续， 求极限 例

X型未定式二、8定理 2. f(x)与g(x)在U(x)内有定义1) lim f(x) = 00, lim g(x) = 00x-→Xox→Xo2) f(x)与g(x)在U(x)内可导,且g(x)±0f(x)3) lim存在(或为8)g(x)x-→>Xof(x)f'(x)limlimg(x)x→xog(x)x→>XoHIGH EDUCATION PRESS返回机动目录上页下页结束

二、   型未定式 存在 (或为∞) 定理 2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o 0 f x g x x ( ) ( ) ( ) 与 在 内有定义 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x   g x g x    0 2) ( ) ( ) ( ) , f x g x x 与 在 内可导 0 ( ) 3) lim ( ) x x f x  g x  

说明：定理中 x→x,换为x→xox→8x→xox→-8x↓+8.之一，条件2)作相应的修改，定理仍然成立(x)若 lim仍属二型,且f'(x),g(x)满足定理条件,g(x)8f(x)(x(limlimlim则g(x)g(x)g"(x)HIGH EDUCATION PRESS返回定理2目录上页下页结束

说明: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. x  , x  , x   定理2 目录 上页 下页 返回 结束 若 ( ) lim ( ) f x g x   理条件, 则 0 x x  0 x x   0 x x  

In x例3. 求lim(n>0)hhx-→+8X例4. 求lim(n>0,元>0)xx-→+8OHIGH EDUCATION PRESS机动返回自录上贝下页结束

例3. 求 例4. 求 lim (  0 ,  0).    n e x x n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题limlim例如，x→+00xXx→+00xlimlimlimxxx→+8x→+8x-→+8L+X+xlimlimx→>+8XX+0HIGH EDUCATIONPRESS返回机动目录上页下页结束

说明: 例如, 1) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

f'(x)不存在(±80)时2)若limF'(x)f(x)f'(x)lim± limF(x)F(x)1 + cos xx +sinx例如,limlim￥1xx→+00x-→+8极限不存在sinxlimxx→+00HIGH EDUCATION PRESS机动返回目录上页下页结束

2) 若 ( ) , ( ) ( ) lim 不存在   时   F x f x . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x    例如, x x x x sin lim   1 1 cos lim x x   极限不存在  ) sin lim (1 x x x   1 机动 目录 上页 下页 返回 结束