《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章多元函数微分法及其应用_第八节多元函数的极值及其求法

第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值最值及其应用三、条件极值返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第八节 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值及其应用 三、条件极值

第八节多元函数的极值及其求法一、兰多元函数极值1.二元函数极值的定义定义设 z=f(x,J)的定义域为D，Po(xo,yo)为D的内点。若存在P的某个邻域U(Po)CD，使得对于该邻域内异于Po的任何点(x,J)，都有f (x,y) <f(xo,yo),则称函数z=f(x,y）在点(xoyo）有极大值f(xoyo)，点（xo，Jo)称为函数f(x，）的极大值点MathGS上页下页返回公式线与面数学家

第八节 多元函数的极值及其求法 一、多元函数极值 1. 二元函数极值的定义 定义设 z = f (x , y)的定义域为D，P0 (x0 , y0 )为D的内 点. 若存在P0的某个邻域U(P0 )  D，使得对于该邻域 内异于P0的任何点(x , y)，都有 f (x , y) < f (x0 , y0 )， 则称函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0 ) 有极大值 f (x0 , y0 )， 点(x0 , y0 )称为函数f(x , y) 的极大值点；

第八节多元函数的极值及其求法都有若对于该邻域内异于P的任何点(αx，y)，f (x,y) >f(xo,yo),则称函数z=f(x,y)在点(xo,yo)有极小值f(xo，yo)，点（xo，y）称为函数f(x，y）的极小值点极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第八节 多元函数的极值及其求法 若对于该邻域内异于P0的任何点(x , y)，都有 f (x , y) > f (x0 , y0 )， 则称函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0 ) 有极小值 f (x0 , y0 )， 点(x0 , y0 )称为函数f(x , y) 的极小值点． 极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的 点称为极值点．

第八节多元函数的极值及其求法例如，函数z=x2+4v2在点(0，0)处取得极小值函数 z=4-x2+y2 在点(0,0)处取得极大值;函数z=xy在点(0,0)处不取得极值71x1XMathGS下页返回公式数学家上页线与面

第八节 多元函数的极值及其求法 例如，函数 z = x 2 + 4y 2 在点(0 , 0)处取得极小值； 函数 2 2 z = 4 − x + y 在点(0 , 0)处取得极大值； 函数 z = xy 在点(0 , 0)处不取得极值. z x y z x y z x y O

第八节多元函数的极值及其求法要注意，函数的极值是一个局部概念，极值也可能22+y的图形如下，不唯一．例如，函数 z=10xje2可以看出该函数有2个极小值，2个极大值7MathGS上页下页返回公式线与面数学家

第八节 多元函数的极值及其求法 x y z 要注意，函数的极值是一个局部概念，极值也可能 不唯一．例如，函数 2 2 2 10 e x y z x y + − = 的图形如下， 可以看出该函数有 2 个极小值，2个极大值

第八节多元函数的极值及其求法函数z=3sin x+3sin y+3sin(x+y）的图形如下，可以看出该函数有无穷多个极小值和极大值7XMathGS上页下页返回公式数学家线与面

第八节 多元函数的极值及其求法 函数 z = 3sin x + 3sin y + 3sin( x + y) 的图形如下， 该函数有无穷多个极小值和极大值. 可以看出 x y z

第八节多元函数的极值及其求法函数x2+y2-z2=-1 的图形如下，可以看出该函数的极Z小值大于极大值xMathGS上页下页返回公式数学家线与面

第八节 多元函数的极值及其求法 x y z O 函数 1 2 2 2 x + y − z = − 的图形如下， 小值大于极大值. 可以看出该函数的极

第八节多元函数的极值及其求法2.二元函数极值存在的条件定理1（必要条件）函数z=f(x，y)在点(xo,yo)存在偏导数，且在该点取得极值，则有f(xo, yo)=0, f,(xo, yo)=0证明台使两个偏导数都为0的点称为函数的驻点.定理1说明，可微函数的极值一定在驻点处取得，但驻点不一定都是极值点．例如，z=xy在驻点(0,0)处不取极值MathGS数学家上页下页返回公式线与面

第八节 多元函数的极值及其求法 2. 二元函数极值存在的条件 定理1 (必要条件) 函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0 ) 存 在偏导数, ( , ) 0 , ( , ) 0 . f x x0 y0 = f y x0 y0 = 且在该点取得极值 , 则有 第八节 多元函数的极值及其求法 在偏导数, 证明 定理1 (必要条件) 函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0 ) 存 ( , ) 0 , ( , ) 0 . f x x0 y0 = f y x0 y0 = 且在该点取得极值 , 则有 不妨设 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0 )处有极大值. 则由极大值的定义，在点 (x0 , y0 )的某个邻域内恒有 f (x , y) < f (x0 , y0 )， ((x , y)  (x0 , y0 )). 于是，当 y = y0时，有 f (x , y0 ) < f (x0 , y0 )， (x  x0 ). 这说明一元函数z = f (x , y0 ) 在 x = x0 处取得极大值， 使两个偏导数都为 0 的点称为函数的驻点. 都是极值点. 明，可微函数的极值一定在驻点处取得， 例如，z =xy 在驻点( 0, 0 )处不取极值. 定理1说 但驻点不一定

第八节多元函数的极值及其求法定理2（充分条件）若函数z=f(x，y)在点(xo，yo)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且fi(xo, yo)=0, f,(xo, yo) = 0,令A= fxr(xo,yo), B= fx,(xo,yo), C= fy,(xo,yo)A0时,具有极值A>0时取极小值：2)当AC-B2<0 时,没有极值;3)当AC -B2 =0 时,不能确定,需另行讨论,证明见第九节.只举例说明当AC-B2=0的情形MathGS上页下页返回公式线与面数学家

第八节 多元函数的极值及其求法 时, 具有极值 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则 1) 当 A0 时取极小值； 2) 当 3) 当 证明见第九节. 时, 没有极值； 时, 不能确定, 需另行讨论. ( , ) 0 , ( , ) 0 , f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ) , ( , ) , ( , ) , 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = x x = x y = y y 0 2 AC − B  0 2 AC − B  0 2 AC − B = 且 若函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0 定理2 (充分条件) ) 只举例说明当 AC – B2 = 0 的情形

第八节多元函数的极值及其求法考察函数 f(x,)=x2+y4 和 g(x,)=x2+容易验证，这两个函数都以(0，0)为驻点，且在点(0，0)处都满足AC-B2=0. 但f(x,J)在(0,0)处有极小值而g(x,J)在(0,0)处却没有极值Z/(x,y)=x+J4Zxy(x,)=x+yxMathGS公式上页下页返回线与面数学家

第八节 多元函数的极值及其求法 考察函数 2 4 f (x, y) = x + y 和 ( , ) . 2 3 g x y = x + y 容易验证，这两个函数都以(0 , 0)为驻点，且在点(0 , 0) 处都满足 AC – B2 = 0. 但 f (x , y) 在(0 , 0)处有极小值， 而 g (x , y) 在(0 , 0)处却没有极值. 2 4 f (x, y) = x + y x y z 2 3 g(x, y) = x + y x y z