《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章多元函数微分法及其应用_第九章多元函数微分法及其应用习题课

习题课元函数微分法福基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法

基本概念一极限、连续1.多元函数的定义、定义域及对应规律·判断极限不存在及求极限的方法·函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系连续性偏导数存在方向导数存在可微性HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

一、 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习xy1.讨论二重极限lim时，下列算法是否正确x->0 x+yJ-0解法1原式= lim011-0J-Oyk令y=kx,原式=lim x解法2"1+kx-0解法3令x=rcose,y=rsinercosOsin0原式=lim0r->0cos 0+ sin 0HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

思考与练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 原式 解法2 令 y = kx , 解法3 令 x = r cos , y = rsin , 时, 下列算法是否正确?

分析：xllim:lim解法1x-0 1± 1x->0x+yXJ-OJ-0此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况，第二步未考虑分母变化的所有情况例如,=时,+=1,此时极限为1k2令y=kx，原式=limx解法2 x→0 1+k例如=x2-x时此法排除了沿曲线趋于原点的情况原式= limx->0HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

分析: 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 解法2 令 y = kx , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况.   例如 y = x 2 − x时 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, , , 1, 1 1 1 = + = x− y x x 例如 y 时

解法3今x=rcoso,y=rsin0r cos 0sin 0原式= limr-0cos 0+ sin 0此法忽略了θ的任意性，当r→0,θ→-时rcosOsin0rcosOsine极限不存在！cos+sinの/2sin(+)因为都不能保证由以上分析可见，三种解法都不对自变量在定义域内以任意方式趋于原点.同时还可看到本题极限实际上不存在特别要注意在某些情况下可以利用极坐标求极限但要注意在定义域内r，θ的变化应该是任意的HIGHEDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束机动

解法3 令 x = r cos , y = rsin , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了 的任意性,  极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r ,  的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在

V±02. 证明：f(x,y)=3(x2x? +y2 = 0在点（00）处连续且偏导数存在，但不可微利用2xy≤x2+y2,知提示：禾1 f(x, y)/≤(x2 + y2)limf(x,y)=0= f(0, 0)x-0y-→0故f在（0,0）连续又因 f(x,0)= f(0,y)=0, 所以fx(0,0)= ,(0,0)= 0HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

     + = +  + = 0 , 0 , 0 ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 提示: 利用 2 , 2 2 xy  x + y 2 1 2 2 ( ) 4 1 f (x, y)  x + y lim ( , ) 0 (0, 0) 0 0 f x y f y x  = = → → 故f 在 (0,0) 连续; 又因 f (x,0) = f (0, y) = 0, (0,0) = (0,0) = 0 x y 所以 f f 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(Ax)?(Ay)?而△f(0,0)[(x)? +(Ay)? j2当△x→0,△y→0时f(0,0)(△x)(△y)2[(△x)? +(Ay)? ?V(△x)? +(Ay)所以f在点(0.0)不可微！HIGH EDUCATION PRESS机动上页下页返回结束自录

而  f (0,0) = 当x → 0，y → 0时, 2 2 (0,0) ( x) ( y) f  +   2 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y  +    = 0 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 2 3 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y  +    机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 已知 f(x+y,x-y)=x2-2 +(x+y),且f(x,O)= x,求出f(x,y)的表达式u=x+y,=x-y,则解法1令x=(u+v),y=}(u-v)f(u,v)=(u+v)? -(u-v)? +(u)=uv+(u)即f(x,y)=xy+p(x)I: f(x, 0)=x, . 0(x)=xf(x,y)= x(y+l)解法2 : f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y)+β(x+y)以下与解法1 相同f(x,y)=xy+p(x)HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

例1. 已知 求出 f (x, y) 的表达式. 解法1 令  f (u,v) 即  f (x , 0) = x, f (x, y) = x ( y +1) 解法2  f (x + y, x − y) = (x + y)(x − y) + (x + y) 以下与解法1 相同. ( , ) ( ), 2 2 f x + y x − y = x − y + x + y f (x，0) = x, 则  (x) = x 且 v = x − y , ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 4 1 = u + v − u − v + u 机动 目录 上页 下页 返回 结束

多元函数微分法二、显示结构1.分析复合结构画变量关系图隐式结构自变量个数=变量总个数一方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

二、多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构 (画变量关系图) 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设z=xf(x+y),F(x,y,z)=0,其中f与F分别具dz(99 考研).求有一阶导数或偏导数，dx解法1方程两边对 x求导,得dzC+xf+xfdxdxdxdxddzd7F'+F'L0-F2dxdxdxf+xfxF2- F'xFf'-xFf'-fFdx-x-xf'F-F2F'F2(xf'F+F±O)UHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束机动

例2. 设 其中 f 与F分别具 解法1 方程两边对 x 求导, 得  = x z d d ( 0) x f F3  + F2   F3 F2 − x f   −  = 1 F2 F3 x f   −  F2 F1 x f f x f  −  −  +  1 2 F2 xF f  − x F f  − f  有一阶导数或偏导数, 求 f x f x z x y − x f  + = +  d d d d 2 3 1 d d d d F x z F x y F +  = −  (99 考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束