《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章多元函数微分法及其应用_第七节方向导数与梯度

第七节方向导数与梯度、方向导数二、梯度三、数量场与向量场返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度 三、数量场与向量场

第七节方向导数与梯度一、方向导数1.定义偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，但许多物理现象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的：例如，热空气要向冷的地方流动，气象学中就要确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率，因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题.上页下页返回MathGS公式线与面数学家

第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 1. 定义 偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率．但许 多物理现象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化 率是不够的．例如，热空气要向冷的地方流动，气象学 中就要确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率．因 此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问 题．

第七节方向导数与梯度设1是xOy平面上以Po(xo,yo)为始点的一条射线，ej=(cosα，cosβ)是与l同方向的单位向量P(x,y)射线1的参数方程为Po(xo , yo)x= x+tcosα,(t≥0)Oxy= yo +tcos β设函数 z=f (x,y)在点Po(xo,yo)的某个邻域 U(Po)内有定义,P(xo+tcosα,yo+tcosβ)为l 上另一点,且PeU(Po),如果函数增量f(xo+tcosα,Jo+tcosβ)-f(xo,yo）与P到P的距离PPol=t的比值MathGS上页下页返回公式线与面数学家

第七节 方向导数与梯度 x y P0 (x0 , y0 ) P(x , y) l el O 设 l 是 xOy平面上以P0 (x0 , y0 )为始点的一条射线， el = (cos , cos)是与 l 同方向的单位向量. 射线 l 的参数方程为 ( 0). cos , cos , 0 0     = + = + t y y t x x t   设函数 z = f (x , y)在点P0 (x0 , y0 )的某个邻域 U(P0 )内 有定义, P(x0+tcos , y0+tcos)为l 上另一点,且PU(P0 ). 如果函数增量 f (x0+tcos , y0+tcos) – f (x0 , y0 ) 与P到P0 的距离|PP0 | = t 的比值

第七节方向导数与梯度tyf(xo +tcosα, yo +tcosβ)- f(x,y)teP(x,y)当P沿着1趋于P.(t→>0+)时的极限存在Po(xo, yo)则称此极限为函数f(x，y)）在点P沿方向xaf，即1的方向导数，记作all(xo,yo)aff(xo+tcosa,yo+tcos)-f(x,y)= limal1t->0+(xo,yo)上页下页返回MathGS公式数学家线与面

第七节 方向导数与梯度 , ( cos , cos ) ( , ) 0 0 t f x + t  y + t  − f x y 当P沿着 l 趋于P0 (t→0 + )时的极限存在， 则称此极限为函数 f (x , y) 在点P0沿方向 l 的方向导数，记作 , ( , ) 0 0 x y f l  即 . ( cos , cos ) ( , ) 0 0 ( , ) 0 lim 0 0 t f f x t y t f x y x y t + + − =   → +   l x y P0 (x0 , y0 ) P(x , y) l el O

第七节方向导数与梯度aff(xo +tcosa, yo +tcosβ)- f(x,y)limalt1-0+1(xo,yo)af就是函从方向导数的定义可知，方向导数all(xo,yo)数f(x，y)在点P沿方向l的变化率返回MathGS公式数学家上页下页线与面

第七节 方向导数与梯度 t f f x t y t f x y x y t ( cos , cos ) ( , ) 0 0 ( , ) 0 lim 0 0 + + − =   → +   l 从方向导数的定义可知，方向导数 ( , ) 0 0 x y f l  就是函 数 f (x , y) 在点P0沿方向 l 的变化率．

第七节方向导数与梯度2.方向导数与偏导数的关系设函数 z=f (x,y)在点Po(xo,yo)的偏导数存在,元时,当l与x轴同向即ej=(1,0)（α=0,β==2aff(xo +t, yo) - f(x, ) = f(x, y).limalt1->0+I(xo,yo)时,当l与x轴反向即ej=(-1,0)（α=元,β="2aff(xo -t, o)- f(x,y) = -f(x, y).= limalt1-→0+l(xo,yo)MathGS上页下页返回公式线与面数学家

第七节 方向导数与梯度 2. 方向导数与偏导数的关系 设函数 z = f (x , y)在点P0 (x0 , y0 )的偏导数存在， 当 l 与 x 轴同向即 el = (1 , 0) ( ) 2 π α = 0, β = 时， ( , ) . ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) 0 lim 0 0 f x y t f f x t y f x y x x y t = + − =   l → + 当 l 与 x 轴反向即 el = (-1 , 0) ( ) 2 π α = π, β = 时， ( , ) . ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) 0 lim 0 0 f x y t f f x t y f x y x x y t = − − − =   l → +

第七节方向导数与梯度反之，即使e;=(1,0)和e;=(-1,0)时两个方向导数都存在，但f(xo,yo)不一定存在例如，z=x2+y2在(0,0)处一当ej=(1,0)时,aff(t, 0)- f(0,0)=1: limxalt(0,0)t-→0+aff(-t, 0)- f(0,0)1当e;= (-1 ,0)时,:lim一alt1(0,0)t0+而偏导数f.(0,0)不存在上页下页返回MathGS公式数学家线与面

第七节 方向导数与梯度 x y z 反之，即使el = (1 , 0)和el = (-1 , 0)时两个方向导数 都存在，但 fx (x0 , y0 )不一定存在. 例如， 2 2 z = x + y 在(0 , 0)处， 当el = (1 , 0) 时, 1; ( , 0) (0,0) lim (0,0) 0 = − =   → + t f f t f t l 当el = (-1 , 0) 时, 1. ( , 0) (0,0) lim (0,0) 0 = − − =   → + t f f t f t l 而偏导数 fx (0 , 0)不存在

第七节方向导数与梯度综上所述：（1）偏导数存在，只能保证函数沿平行于坐标轴方向的方向导数存在，而不能保证沿其它方向的方向导数存在;(2）函数沿任意方向的方向导数存在，也不能保证偏导数存在，那么，函数到底满足什么条件时，方向导数一定存在，如何计算呢？下面的定理给出了回答，返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第七节 方向导数与梯度 综上所述： (1) 偏导数存在，只能保证函数沿平行于坐标轴方向 的方向导数存在，而不能保证沿其它方向的方向导数存 在； (2)函数沿任意方向的方向导数存在，也不能保证偏 导数存在． 那么，函数到底满足什么条件时，方向导数一定存 在，如何计算呢？ 下面的定理给出了回答．

第七节方向导数与梯度3.方向导数存在的条件及计算定理女如果函数f(x，J）在点Poxo，yo）可微分，那么函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有of=f(xo,o)cosα+f,(xo,yo)cosβal(xo.yo）其中cosα，cosβ是方向I的方向余弦证明台yaPoAr0xMathGS上页下页返回公式线与面数学家

第七节 方向导数与梯度 3. 方向导数存在的条件及计算 定理 如果函数 f (x , y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 可微分，那 么函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在，且有 ( , ) cos ( , ) cos , 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y  f x y  f x y x y = +   l 其中 cos , cos 是方向 l 的方向余弦． 第七节 方向导数与梯度 证明 定理 如果函数 f (x , y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 可微分，那 么函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在，且有 其中 cos , cos 是方向 l 的方向余弦． 由假设 f (x , y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 可微分， 故有 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y + y − f x y ( , ) ( , ) ( ( ) ( ) ). 2 2 0 0 0 0 f x y x f x y y o x y = x  + y  +  +  x y P0 P l x y t   O

第七节方向导数与梯度同理可证：如果函数f(x，y，z)在点Po(xo,yo，zo）可微分，那么函数在该点沿着e=cosα，cosβ，cos)的方向导数为aff.(xo,yo,zo)cosα+ f,(xo,yo,zo)cosβ+ f.(xo,yo,zo)cosyal(xo,y0)返回MathGS公式数学家上页下页线与面

第七节 方向导数与梯度 同理可证： 如果函数 f (x , y , z) 在点 P0 (x0 , y0 , z0 ) 可微分，那么 函数在该点沿着el = (cos , cos , cos)的方向导数为 ( , , ) cos ( , , ) cos ( , , ) cos . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y z  f x y z  f x y z  f x y z x y = + +   l