《数学分析》课程教学课件（讲稿）级数的收敛性

S1 级数的收敛性级数是数学分析三大组成部分之一，是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用。前页后页返回

前页 后页 返回 §1 级数的收敛性 级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行 近似计算的一种有用的工具. 级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用

对于有限个实数ui,u2，,un相加后还是一个实数，这是在中学就知道的结果，那么“无限个实数相加”会有什么结果呢？请看下面的几个例子如在第二章提到《庄子·天下篇》“一尺之，日取其半,万世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加”起来是：111+一2*27 +2返回前页后页

前页 后页 返回 对于有限个实数 u1,u2,.,un 相加后还是一个实数， 这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万 世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加” 起来是: + + + + + 2 3 1 1 1 1 , 2 2 2 2n

由于前 n 项相加的和是 1-二，可以推测这“无限个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数相加”的表达式1+(-1) +1+(-1) +...中，如果将其写作(1-1) +(1 -1) +(1 -1) +... = 0 + 0 + 0 +...结果肯定是0，而写作1+[(-1) +1]+[(-1) +1]+ ... = 1 +0 +0 + 0 + ...,后页返回前页

前页 后页 返回 由于前 n 项相加的和是 1 1 2 n − ，可以推测这“无限 个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数 相加”的表达式 1 ( 1) 1 ( 1) + − + + − + 中，如果将其写作 (1 1) (1 1) (1 1) 0 0 0 , − + − + − + = + + + 结果肯定是0，而写作 1 [( 1) 1] [( 1) 1] 1 0 0 0 , + − + + − + + = + + + +

则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本问题：“无限个数相加”是否存在“和”;如果存在“和”等于什么？由此可见，“无限个数相加”不能简单地与有限个数相加作简单的类比，需要建立新的理论.定义1给定一个数列(uni,将其各项依次用“+”号连接起来的表达式(1)u, +u, +...+un +..返回前页后页

前页 后页 返回 则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”;如果存在, “和”等于什么? 由此可见, “无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新 的理论. 定义1 给定一个数列{un }, 将其各项依次用“+”号 连接起来的表达式 1 2 + + + + (1) u u un

称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中un称为数项级数(1)的通项或一般项.数项级数(1)也常记为un.在不致误解时可简记为un·n=1数项级数(1)的前n项之和记为nS, - Zux = u + u, +... un,(2)k=1称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和定义2 若数项级数(1)的部分和数列(S,)收敛于 S后页返回前页

前页 后页 返回 称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 un 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也  =  1 n n u . 常记为 . 在不致误解时可简记为 un 数项级数(1)的前n项之和记为 = = = + + +  1 2 1 , (2) n n k n k S u u u u 称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和. 定义2 若数项级数(1)的部分和数列 { } Sn 收敛于 S

(即 lim S,= S),则称数项级数(1)收敛,S称为数n→00项级数(1)的和，记作S = u, + u, ... u, ., 或 $- Zu..n=1若{(S是发散数列，则称数项级数(1)发散例1讨论等比级数（也称几何级数）(3)a +aq +aq' +... + aq" +...的收敛性(a0)后页返回前页

前页 后页 返回 → lim n = n (即 S S ), 则称数项级数(1)收敛, S 称为数 项级数(1)的和,记作 1 2 1 , . n n n S u u u S u  = = + + + + = 或  例1 讨论等比级数(也称几何级数) + + + + + 2 (3) n a aq aq aq 的收敛性(a≠0). 若 { } Sn 是发散数列,则称数项级数(1)发散

解 q1时,级数(3)的第 n 个部分和为.1-q"S, = a + aq +...+ aq"-l = a1-q因此1-q‘. 此时级(i) 当qa数(3)收敛,其和为1-1(ii)当q>1时, lim S,=o,此时级数(3)发散后页返回前页

前页 后页 返回 解 q≠1时, 级数(3)的第 n 个部分和为 1 1 . 1 n n n q S a aq aq a q − − = + + + =  − 因此 1 (i) 1 , lim lim . 1 1 n n n n q a q S a → → q q −  =  = − − 当 时 此时级 数(3)收敛,其和为 − . 1 a q → (ii) 1 , lim , (3) .  =  n n 当 时 此时级数 发散 q S

(i)当q=1时,S,= na,级数发散. 当q=-1时,S2k = 0, S2k+1 = a, k = 0,1,2,.…,级数发散.综合起来得到:q<1时,级数(3)收敛;≥1时,级数(3)发散例2讨论数项级数1(4)1.22.3n(n +1)的收敛性。解级数(4)的第n个部分和为后页返回前页

前页 后页 返回 (iii) 1 , , . = = n 当 时 级数发散 q S na 当 时 q = −1 , 2 = 0, S k 2 1 , 0,1,2, , . S a k k+ = = 级数发散 综合起来得到: q  1 , (3) ; 时 级数 收敛 q  1 , 时 级 数(3)发散. 例2 讨论数项级数 + + + +   + 1 1 1 (4) 1 2 2 3 ( 1) n n 的收敛性. 解 级数(4)的第n个部分和为

111S.+n(n + 1)1-22:31111+.+一+n-l2(21n+1由于lim S, = limn->0n-→00n+l因此级数(4)收敛,且其和为1.前页后页返回

前页 后页 返回 1 1 1 12 23 ( 1) Sn n n = + + +   +       = − + − + + −             − 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 n n = − + 1 1 . n 1 → →   = − =     + 1 lim lim 1 1, 1 n n n S n 由于 因此级数 (4) 收敛,且其和为1

注由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它的部分和数列(S，来确定，因而也可把级数(1)作为数列{S,}的另一种表现形式.反之，任给一个数列{a,},如果把它看作某一数项级数的部分和数列,则这个数项级数就是Zu, =a, +(a, -a)+(a, -a,)+...+(a, -a-)+..(5)n=1这时数列(α,与级数(5)具有相同的敛散性，且当{an}收敛时,其极限值就是级数(5)的和前页后页返回

前页 后页 返回 注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它 的部分和数列 { } Sn 来确定, 因而也可把级数(1)作为 数列 { } Sn 的另一种表现形式. 反之, 任给一个数列 { }n a , 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则 这个数项级数就是  − =  = + − + − + + − + 1 2 1 3 2 1 1 ( ) ( ) ( ) . (5) n n n n u a a a a a a a { } 这时数列 an 与级数 (5) 具有相同的敛散性, 且当 { } an 收敛时,其极限值就是级数(5)的和