《数学分析》课程教学课件（讲稿）含参量正常积分

S 1 含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分，它可用来构造新的非初等函数·含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式一、含参量正常积分的定义1含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性四、，含参量正常积分的可积性五、例题岚回后页前页

前页 后页 返回 §1 含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形 成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的 非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正 常积分两种形式. 一、含参量正常积分的定义 返回 五、例题 四、含参量正常积分的可积性 三、含参量正常积分的可微性 二、含参量正常积分的连续性

一、含参量正常积分的定义设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]"[c,d] 上的二元函数. 当x取[a,b]上的定值时,函数f(x,y) 是定义在[c,d] 上以 y 为自变量的一元函数, 储若这时f(x,y)在[c,d] 上 可积, 则其积分值I(x) =0 f(x, y)dy, xi [a,b)(1)是定义在[a,b]上的函数一般地,设f(X,J)为定义在区域邀回前页后贡

前页 后页 返回 一、含参量正常积分的定义 设 是定义在矩形区域 上的 定义在 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 在 上可积, 则其积分值 是定义在 上的函数. 一般地, 设 为定义在区域 二元函数.当 x取 上的定值时,函数 是

G=((x, y)lc(x)f yfd(x),af x fb)上的二元函数, 其中c (x),d (x)为定义在[a,b] 上的连续函数(图19-1),y=d(x)y↑Gy=c(x)oabx图 19 - 1若对于[a,b]上每一因定的x值,f(x,y)作为y的函后贡邀回前页

前页 后页 返回 上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在 上的连 续函数(图19-1), 若对于 上每一固定的 x 值, 作为 y 的函

数在闭区向[c(x),d(x) 1 上可积, 则其积分值ax(2)F(x)= O) f(x, y)dy, xi [a,b)是定义在[a,b]上的函数。用积分形式(1) 和 (2) 所定义的这函数I(x)与F(x)通称为定义在[a,b上的含参量x的(正常)积分或简称为含参量和分后贡巡回前页

前页 后页 返回 数在闭区间 上可积, 则其积分值 是定义在 上的函数. 用积分形式 (1) 和 (2) 所定义的这函数 与 通称为定义在 上的含参量 x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分

二、含参量正常积分的连续性定理19.1 (I(x)的连续性) 若二元函数f(x, J) 在短形区域R=[a,b]"[c,d]上连续,则函数I(x)=O f(x, y)d)在[a,b]上连续,证设x I [ a, b], 对充分小的 Dx ,有x + Dx I [a, b](若x 为区向的端点,则仅考虑 Dx >0 或Dx<0),于是后贡邀回前页

前页 后页 返回 二、含参量正常积分的连续性 定理19.1 ( ) 若二元函数 在矩 形区域 上连续, 则函数 在[ a , b]上连续. 证 设 对充分小的 (若 x 为区间的端点, 则仅考虑 ), 于是

I(x + Dx) - I(x) = lf(x + Dx, y) - f(x, y)dy, (3)由于f(X,J)在有界闭区域R上连续,从而一致连续,即对任意e >0 ,总存在d >0,对R内任意两点(xi, J1)与(x2, J2) 只 要Ix,-x, /<d,lyi- y2 /<d ,就有(4)[ f(xi, y) - f(xz, J2) /<e.所以由(3), (4)可得, 当 Dx |<d时巡回前页后贡

前页 后页 返回 由于 在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续, 即对任意 总存在 对R内任意两点 只要 就有 所以由(3), (4)可得

I I(x+ Dx) - I(x)/ f o1 f(x + Dx, y) - f(x, y) Idy<edx =e(d - c).即 I (x) 在[a, b] 连续。固理可证:若f(X,J)在短形区域R上连续,则含参量y的积分(5)J(y) = f(x, y)dx在[c,d ] 上连续.注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式后贡巡回前页

前页 后页 返回 即 I (x) 在 上连续. 同理可证: 若 在矩形区域 R上连续,则含参 量 的积分 在[c ,d ]上连续. 注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:

若fX,V在短形区域R上连续，则对任何x, I [a,b],都有Im (x, dy=m (x, )dy.这个结论表明，定义在短形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以文换的注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件 F在[a,b]'[c,d]上连续可改为在A'[c,d]上连续,其中A为任意区向巡回后贡前页

前页 后页 返回 若 在矩形区域 R 上连续,则对任何 都有 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极 限运算与积分运算的顺序是可以交换的. 为任意区间. 注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件

定理19.2 (F(x的连续性） 若二元函数f(x, )在区域G=(x, y)Ic(x) f yfd(x),axfb)上连续, 其中c(x), d(x)为[a, b] 上的连续函数, 则函数d(x)(6)F(x)= O() f(x, J)dy在[a,b] 上 连续,证对积分(6)用换元积分法,今y =c(x) +t(d(x) - c(x)) .当 y 在c(x)与d(x)之向取值时,t 在 [0, 1] 上取值,且巡回前页后贡

前页 后页 返回 定理19.2 ( ) 若二元函数 在区 域 上连续, 其 中c(x), d(x)为 上的连续函数, 则函数 在 上连续. 证 对积分(6)用换元积分法, 令 当 y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在 [0, 1] 上取值, 且

dy = (d(x) - c(x))dt .所以从(6)式可得d(x)F(x)= Qm) (x, y)dyQ f(x, c(x) + t(d(x)- c(x)(d(x)- c(x)dt.由于被积函数f(x, c(x)+t(d(x) - c(x)(d(x)- c(x)在短形区域[a ,b] [0 ,1] 上连续,由定理19.1得积分(6)所确定的函数 F(x) 在[a, b]连续巡回前页后贡

前页 后页 返回 所以从(6)式可得 由于被积函数 在矩形区域 上连续, 由定理19.1得积分 (6)所确定的函数 F(x) 在[a, b]连续