《数学分析》课程教学课件（讲稿）含参量反常积分

S2 含参量反常积分与函数项级数相同。含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性在相应的一致收敛的条件下，含参量反常积分具有连续性，可微性，可积性.含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似。返回后页前页

前页 后页 返回 §2 含参量反常积分 与函数项级数相同, 含参量反常积分的重 要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性. 在相应的一致收敛的条件下, 含参量反常积 分具有连续性, 可微性, 可积性. 含参量反常 积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的 一致收敛性的判别法类似. 返回

一、含参量反常积分的一致收敛性二、含参量反常积分一致收敛性的判别三、含参量反常积分的性质四、含参量无界函数的反常积分返回后页前页

前页 后页 返回 四、含参量无界函数的反常积分 三、含参量反常积分的性质 二、含参量反常积分一致收敛性的判别 一、含参量反常积分的一致收敛性

一。含参量反常积分一致收敛性设函数f(x,)定义在无界区域R=J'[c,+?)上,其中J是任意区向.若"xIJ,反常积分(1)I(x)=o. f(x, y)dy都收敛，则I(x)是J上的函数称(1)为定义在J上的含参量x的无穷限反常积分或称含参量反常积分巡回前页后贡

前页 后页 返回 一．含参量反常积分一致收敛性 设函数 定义在无界区域 上, 其中 是任意区间. 若 反常积分 都收敛，则 上的函数. 称(1)为定义在 上的含参量 x 的无穷限反常积分, 或称含参量反常积分

定义1 若含参量反常积 分(1)与函数I(x)对" e > 0 ,SN>c,使得当 M > N时,对一切xI J, 都有O f(x, y)dy- I(x)<e ,即d, f(x, y)dy<e,则称含参量反常积 分(1)在J 上 一致收效于I(x), 或简单地统含参量积分(1)在J 上一致收敛。巡回前页后贡

前页 后页 返回 定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对 使得当 时, 对一切 都有 即 则称含参量反常积分(1)在 上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 上一致收敛

注1 由定义, I(x)=O f(x, J)dy在 JL一致收敛的充要条件是h(4) -p p (s a fg ( ),.注2 由定义, I(x)= f(x, J)dy 在 J 上不一致收敛的充要条件是Se,>0," M >c, $A>M及x,I J,de f(xo, y)dy 3 e. .邀回前页后页

前页 后页 返回 注1 由定义, 在 上一致收敛的 充要条件是 注2 由定义, 在 上不一致收敛 的充要条件是

例1 讨论含参量反常积分+￥Q xe' "dy,xi (0,+)的一致收效性，解若x>0,令 u= xy, 则+￥+￥O xe'"dy=Q,e"du=e",+于是 xe"a/h(A)=supxi [0,+￥)后页巡回前页

前页 后页 返回 例1 讨论含参量反常积分 的一致收敛性. 解 若 则 于是

因此,含参量积分在（0,十）上非一致收敛而对于任何正数d，有,"a/0"4@0(40),h(A)= sup xi [d,+Y)因此，该含参量积分在[d,上一致收敛巡回前页后贡

前页 后页 返回 因此, 含参量积分在 上非一致收敛. 因此, 该含参量积分在 上一致收敛. 而对于任何正数 , 有

二。含参量反常积分一致收敛性的判别定理19.7（一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1)在[a,b]一致收效的充要条件是:"e >0,sN >c,使得当 Aj, A, > N 时,对一切的 xI [a,b],都有(3)a' f(x, y)dy0, $N>c,"A>N及xI J, 有后页巡回前页

前页 后页 返回 二．含参量反常积分一致收敛性的判别 定理19.7 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1) 在 上一致收敛的充要条件是: 使得当 时, 对一切的 都有 证 必要性 若 在 上一致收敛, 则

[ (x, y)dy- 1() N,* f(x, )dx0 f(x, )dx- 0 f(x, )dx* f(x, y)dx- I(x)+0 f(x, )dx- I(x)e<%+3=e22后页巡回前页

前页 后页 返回 因此

充分性若"e >0, $N>c," M = A, A,>N,a' f(x, y)dy<e.则今 A, ?+￥,得导, f(x, y)dy f e.这就证明 了 I(x)=Q f(x, J)dy 在 J 上一致收敛,例2证明含参量反常积分? sin xydy(4)Qy后贡巡回前页

前页 后页 返回 则令 这就证明了 在 上一致收敛. 例2 证明含参量反常积分 充分性 若