《数学分析》课程教学课件（讲稿）直角坐标系下二重积分的计算

S2直角坐标系下二重积分的计算二重积分计算的要点是把它化为定积分这里有多种方法，其中最常用的是在直角坐标系下化为累次积分。一、在矩形区域上二重积分的计算二、在X型或V型区域上二重积分的计算三、在一般区域上二重积分的计算前页后页返回

前页 后页 返回 §2 直角坐标系下二重 积分的计算 二重积分计算的要点是把它化为定积分. 这里有多种方法, 其中最常用的是在直角坐 标系下化为累次积分. 一、在矩形区域上二重积分的计算 二、在 x 型或 y 型区域上二重积分 的计算 三、在一般区域上二重积分的计算 返回

一、在矩形区域上二重积分的计算定理21.8 设 f(x,y) 在矩形区域 D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个xe[a,b],积分["f(x,J)dy存在,则累次积分['dxf" f(x, y)dy= J'(J° f(x, y)dy))dx0也存在，且[J f(x, y)do = f' dxf" f(x, y)dy.(1)D后页返回前页

前页 后页 返回 一 、在矩形区域上二重积分的计算 定理21.8 设 f x y ( , ) 在矩形区域 D a b c d =  [ , ] [ , ] x a b [ , ], ( , )d d c f x y y 上可积  , 且对每个 积分 存在, 则累次积分 ( ) d ( , )d ( , )d d b d b d a c a c x f x y y f x y y x =     也存在, 且 ( , )d d ( , )d . (1) b d a c D f x y x f x y y  =   

证令 F(x)=["f(x,J)dy，定理要求证明 F(x) 在[a,b]上可积，且积分的结果恰为二重积分.为此对区间[a,b]与[c,d]分别作分割ya =xo<x,<...<x, =b,dc= yo <yi<...< y, = d.ykAkiYk-1按这些分点作两组直线1C!：x = x, (i = 1,2,..,r -1)0a x.15,x,bxy = yk (k =1,2,."",s -1)图 21-4后页返回前页

前页 后页 返回 ( ) ( , )d , d c F x f x y y =  证 令 定理要求证明 F x( ) 在 [ , ] a b 上可积, 且积分的结果恰为二重积分. 为此, 对区间 [ , ] a b 与 [ , ] c d 分别作分割 0 1 , r a x x x b =    = 0 1 . s c y y y d =    = 按这些分点作两组直线 ( 1,2, , 1), i x x i r = = − ( 1,2, , 1), k y y k s = = − 图 21 4 − O y x c d a xi−1 b i xi  k y k−1 y ik

把矩形D分为 rs 个小矩形(图21-4).记 △;为小矩形[x,-1, x,]x[yk-1, yr](i = 1, 2,..-,r; k =1,2,..-,s).设f(x,J)在 △i上的上确界和下确界分别为M,和mi·在区间[x;-1，x;]中任取一点5;，于是就有不等式miAys≤ [, f(i, y)dy<MiAyk,Jyk-1其中 Ay, = yk- Jk-1·因此ZmxAyx≤F(5)= f" f(5i, )dy≤ZMxAyk,k=1k=1后页返回前页

前页 后页 返回 把矩形 D 分为 rs 个小矩形(图21-4). 记 ik 为小矩 1 1 [ , ] [ , ] ( 1, i i k k x x y y i 形 − −  = 2, , ; 1,2, , ). r k s = f x y ( , ) 设 在 ik 上的上确界和下确界分别为 Mik 和 mik 1 [ , ] i i x x − , i . 在区间 中任取一点  于是就有不等 式 1 ( , )d , k k y ik k i ik k y m y f y y M y  −      其中 1 . k k k y y y  = − − 因此 1 1 ( ) ( , )d , s s d ik k i i ik k c k k m y F f y y M y   = =     =   

22maAV/Ax, ≤≥F(5,)Ax, ≤22mMikAykAx,, (2)i=1 k-1i=1i=1 k=l其中 Ax,=x, -xi-1.记△,的对角线长度为di，于是IIT I= maxdik .i,k由于二重积分存在,由定理21.4,当T Ⅱ→0 时，使ZmikAysAxr;和MiAyiAx;有相同的极限,且极限i,ki,k值等于[{门f(x,)do.因此当TI→0 时,由不等式D(2)可得:后页返回前页

前页 后页 返回 1 1 1 1 1 ( ) , (2) r s r r s ik k i i i ik k i i k i i k m y x F x M y x  = = = = =           1 . i i i x x x  = − − ik ik 其中 记 的对角线长度为 d ,于是 , || || max . ik i k T d = 由于二重积分存在, 由定理21.4, 当 || || 0 T → 时, 使 , ik k i i k m y x   , ik k i i k 和 M y x   有相同的极限, 且极限 ( , )d . D f x y   值等于 因此当 || || 0 T → 时, 由不等式 (2)可得:

lim,ZF(5,)Ax, = JJ f(x, y)do.(3)ITII→0i=1D由于当I T→0 时,必有max△x,→0,因此由定积l≤iSr分定义,(3)式左边lim, Z F(5,)Ax, = f' F(x)dx = f'dxf" f(x, y)dy.ITII-→>0 i=1定理21.9 设 f(x,y)在矩形区域 D =[a,b]×[c,d]上可积,且对每个ye[c,d],积分J’f(x,y)dx 存在,则累次积分后页返回前页

前页 后页 返回 || || 0 1 lim ( ) ( , )d . r i i T i D F x f x y   → =   =  (3) || || 0 T → 1 max 0, i i r x   由于当 时, 必有  → 因此由定积 分定义, (3)式左边 || || 0 1 lim ( ) ( )d d ( , )d . r b b d i i T a a c i F x F x x x f x y y  → =   = =    定理21. 9 设 f x y ( , ) 在矩形区域 D a b c d =  [ , ] [ , ] y c d [ , ], ( , )d b a f x y x 上可积  , 且对每个 积分 存在, 则累次积分

[" dyf' f(x, y)dx= J"(f' f(x, y)dy) dx也存在,且J f(x, y)do = f' dyf' f(x, y)dx.D定理21.9的证明与定理21.8相仿特别当 f(x,y)在矩形区域 D=[a,b]×[c,d]上连续时,则有[[ f(x, y)do = f' dx" f(x, y)dy = f" dy]' f(x, y)dx.D后页返回前页

前页 后页 返回 也存在, 且 ( , )d d ( , )d . d b c a D f x y y f x y x  =    定理21. 9的证明与定理21. 8相仿. 特别当 f x y ( , ) 在矩形区域 D a b c d =  [ , ] [ , ] 上连续 时, 则有 d c ( , )d d ( , )d d ( , )d . b d b a c a D f x y x f x y y y f x y x  = =      ( ) d ( , )d ( , )d d d b d b c a c a y f x y x f x y y x =    

[[(x+ y)"do, 其中 D =[0, 1]×[0, 1].例1 计算D解应用定理21.8(或定理21.9),有J f(x, y)do = f, dxf,(x + y) dyDx37(x +1)31dx =336后页返回前页

前页 后页 返回 2 ( ) d , D x y +   例1 计算 其中 D =  [0, 1] [0, 1]. 解 应用定理21. 8(或定理21. 9), 有 1 1 2 0 0 ( , )d d ( ) d D f x y x x y y  = +    3 3 1 0 ( 1) 7 d . 3 3 6 x x x   + = − =     

二、在x型或V型区域上二重积分的计算对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算。称平面点集(4)D=((x, y) i(x)≤y≤y(x),a≤x≤b)为x型区域(图21-5(a);称平面点集(5)D=((x,y)/x(y)≤x≤x,(y),c≤y≤d)为y型区域(图21-5(b)后页返回前页

前页 后页 返回 对于一般区域, 通常可以分解为如下两类区域来进 行计算. 称平面点集 1 2 D x y y x y y x a x b =     {( , ) | ( ) ( ), } (4) 为x型区域(图21-5(a)); 称平面点集 1 2 D x y x y x x y c y d =     {( , ) | ( ) ( ), } (5) 为y型区域(图21-5(b)). 二、在 x 型或 y 型区域上 二重积分的计算

yyddJ=y2(x)() 5 =:()x =5DD=y()xXCC-x?bx00(a)x型区域(b) y型区域图 21-5这些区域的特点是当D为x型区域时，垂直于x轴的直线x=x(a<x<b)至多与区域D的边界交于前页后页返回

前页 后页 返回 这些区域的特点是当 D 为 x 型区域时, 垂直于x 轴 的直线 0 0 x x a x b =   ( ) 至多与区域 D的边界交于 图 21 5 − (a) x 型区域 O x c d (b) y 型区域 D y O x c d a b = 2 y y x( ) = 1 y y x( ) D y