《数学分析》课程教学课件（讲稿）反常二重积分

＊S8 反常二重积分与反常定积分相同，二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形，统称为反常二重积分。一、无界区域上的二重积分二、无界函数的二重积分邀回后页前页

前页 后页 返回 *§8 反常二重积分 与反常定积分相同, 二重积分亦有推广 到积分区域是无界的和被积函数是无界的 两种情形, 统称为反常二重积分. 一、无界区域上的二重积分 二、无界函数的二重积分 返回

一、无界区域上的二重积分定义1 设f(X,J)为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线g,f(x,J)在曲线 g 所图的有界区域 E。 与 D 的文集y个E, I D = D, (图21-42)DgEyD上二重可积.今0xd,=min (r+y(x,)ig)图21-42若存在有限极限：巡回前页后贡

前页 后页 返回 一、无界区域上的二重积分 定义1 设 为定义在无界区域 D上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 在曲线 所围的有界区域 与 D 的交集 (图21-42) 上二重可积.令 若存在有限极限:

lim of(x,y)ds ,d,?YD且与 g 的取法无关,则称 f(x,J) 在D 上的反常二重积分收敛，并记(1)of(x,y)ds = lim of(x,y)ds ;d,??DDg否则称 f(x,J) 在 D 上的反常二重积分发散,或简称 f(x,y)ds发散D定理21.16 设在无界区域D 上 f(x,J)3 0,g1g2,L 后页滋回前页

前页 后页 返回 且与 的取法无关, 则称 在D 上的反常二 重积分收敛, 并记 否则称 在 D 上的反常二重积分发散, 或简 称 发散. 定理21.16 设在无界区域 D 上

gn,L为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足(i)d, =inf (/*+y(x, )i g, ? +(n? ?);(ii) I = sup f(x,y)ds < +,D.其中 D, =E, I D, E,为g,所国的有界区域.这时反常二重积分(1)必定收效,并且of(x,y)ds = I.D证设gl为任何包图原点的光滑封闭曲线,它所图成后页巡回前页

前页 后页 返回 为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足 其中 为 所围的有界区域.这时反 常二重积分 (1) 必定收敛, 并且 证 设 为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成

的区域记为Ed 并记 Dc=E虹 D.因为limd,=+,R?因此存在 n,使得 Ddi D, i D. 由于 f(x,J)3 0, 所以有f(x,y)ds fof(x,y)ds f I.DeDn另一方面，因为I = sup f(x, y)ds,Dn故对任给的e >0, 总有 n,使得滋回前页后页

前页 后页 返回 的区域记为 并记 .因为 因此存在 n,使得 由于 所 以有 另一方面，因为 故对任给的 总有 使得

f(x,y)ds > I - e.D0因而对于充分大的 D&E Dm,有f(x, y)ds > I - e.De再由I - e<f(x,y)ds f I,De可知反常 二重积分 f(x,y)ds 存在,且等于 I.D由定理21.16的证明容易看到有以下定理：邀回后页前页

前页 后页 返回 再由 由定理 21.16 的证明容易看到有以下定理: 因而对于充分大的 有 可知反常二重积分 存在,且等于 I

定理21.,17 若在无界区域D 上 f(x,J) 3 0, 则反常 二重积分(1)收效的充要条件是：在D的任何有界子区域上f(x,)可积，且积分值有上界例1证明反常二重积分0e (rdsD收敛，其中D为第一象限部分，即D =[0,+￥)"[0,+￥)证设DR是以原点为圆心R为半经的圆在第一象限部分. 因为 e (r+y") >0, 所以二重积分后贡巡回前页

前页 后页 返回 定理21.17 若在无界区域 D上 则反常二 重积分(1)收敛的充要条件是：在D的任何有界子 区域上 可积，且积分值有上界. 例1 证明反常二重积分 收敛,其中 D为第一象限部分,即 部分. 因为 所以二重积分 证 设 是以原点为圆心R 为半径的圆在第一象限

e(e+'dsDR的值随着R的增大而增大.又因pRI0e(c'ds =0dg e"'rdr4DR所以ds = lim P(1 - e R)17)=PlimRR?R??44DR显然对D的任何有界子区域D总存在足够大的R滋回后页前页

前页 后页 返回 的值随着 R 的增大而增大.又因 所以 显然对D 的任何有界子区域 总存在足够大的R

使得 Dai Dr,于是tT0e (t+y)foe2DeDR因此由定理21,17,反常二重积分e(c+)")ds 收敛,D并且由定理21.16有元-(2)e94D由（2)式还可推出在概率论中经常用到的反常积分邀回前页后页

前页 后页 返回 使得 于是 因此由定理21.17, 反常二重积分 收敛， 并且由定理21.16有 由 (2) 式还可推出在概率论中经常用到的反常积分

e"'ds 的值.为此,考察 S,=[0,a] [0,a] 上的积分(2-Sa山因为 (e(x+")dsDV2aSaDa2ax0dxQ图21-43而 D,i S, 1 D,5,(图 21-43),所以滋回前页后页

前页 后页 返回 为此, 考察 上的积分 因为 而 (图 21-43), 所以