《数学分析》课程教学课件（讲稿）以2l为周期的函数的展开式

S 2 以21 为周期的函数的展开式上节讨论了以2为周期，或定义在（-元,元上然后作2口周期延拓的函数的傅里叶展开式本节讨论更有一般性的以21为周期的函数的傅里叶展开式，以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式.一、以2l为周期的函数的傅里叶级数二、偶函数与奇函数的傅里叶级数返回后页前页

前页 后页 返回 §2 以 2l 为周期的函数的展开式 上节讨论了以 2￾ 为周期, 或定义在 上然后作2￾ 周期延拓的函数的傅里叶展开式, 本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的 傅里叶展开式, 以及偶函数和奇函数的傅里 叶展开式. 返回 一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数

一、以2l为周期的函数的傅里叶级数设f是以21为周期的函数，通过变量替换：lt元X=t或x=1元就可以将f变换成以2元为周期的关于变量t的函数elt °二 若 f 在[-,1]上可积,则 F 在[- 元,元]F(t) =8元0上也可积,这时函数F的傅里叶级数展开式是￥: "g +a (a, cos nx+ b,sinnx),F(x) :(1)2n-1邀回后贡前页

前页 后页 返回 一、以2l为周期的函数的傅里叶级数 设 f 是以 2l 为周期的函数, 通过变量替换: 若 在 上可积, 则 在 上也可积, 这时函数 F 的傅里叶级数展开式是: 就可以将 f 变换成以 为周期的关于变量 t 的函数

其中1元F(t)cosntdt, n =1,2,L ,aO11元(2)1元b. =F(t)sinntdt, n =1,2,L .On元aelt °元x因为ff(x).于是由(1)与6h二18元0(2)式分别得￥n元xn元xao0+(3)f(x) :a(a,cosh1121n=1岚回前页后页

前页 后页 返回 其中 (2) 因为 , 所以 于是由(1)与 (2)式分别得

与n元xa,-1o,sOcodx,n = 0,1,2,L ,1(4)n元xb,=↓0, (x)sindx.n =1,2,3,L :1这里(4)式是以21为周期的函数f的傅里叶系数,(3)式是的傅里叶级数若函数于 在[-l,]上按段光滑,则固样可由收效定理知道邀回前页后贡

前页 后页 返回 与 这里(4)式是以2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数, (3) 式是 f 的傅里叶级数. 若函数 f 在 上按段光滑, 则同样可由收敛定理 知道

f(x+0)+ f(x - 0)2?n元xn元xao+a (a,cosh(5)n21n=1例1将函数i 0,- 5x<0,f(x)=i0fx<513,展开成傅里叶级数解由于f在（-5,5]上按段光滑,因此可以展开成傅回后页前页

前页 后页 返回 例1 将函数 展开成傅里叶级数

里叶级数.根据(4)式,有1.51.0n元xn元x130dxan =dx +?COS59555 Q5435n元x= 0, n=1,2,L ,Xsin55n元01.51.53dx = 3,a=()a59.5Q,J-S1.5n元xb =dx3sin1d5D后页巡回前页

前页 后页 返回 里叶级数.根据 (4) 式,有

1553é3(1 - cos n元)n元xicOSA15 .58n元n元i6n = 2k - 1,k =1,2,L =1 (2k - 1)10,n = 2k,2k =1,2,L .代入(5)式,得?36(2k - 1)元xof(x)==+sina51)元2.k=l (2k36 a... T13元x15元x0元xsin十十=sinsin:C552535元0巡回前页后页

前页 后页 返回 代入(5)式, 得

这里xI (- 5,0) U (0,5). 当 x = 0 和±5 时级数收效于32.返回前页后页

前页 后页 返回 这里 当 和±5 时级数收敛于

二、偶函数与奇函数的傅里叶级数设f是以21为周期的偶函数，或是定义在[-l,I]上的偶函数,则在[- l, I] 上,f(x)cos nx 是偶函数,f(x)sinnx是奇函数. 因此,f 的体里叶系数(4)是iin元xa, -70, ()cosdxi1iin元x-610n = 0,1,2,L(6)dx,UCOOy1iin元x1b, =,J.f(x)sindx = 0, n =1,2,LTp后贡巡回前页

前页 后页 返回 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 的偶函数, 则在 上, 是偶函数, 是奇函数. 因此, f 的傅里叶系数(4)是 设 f 是以 2l 为周期的偶函数, 或是定义在 上

于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即￥n元xf(x): ++a a, cos(7)12n=1其中如（の)式所示()式右边的级数称为余弦级数同理,若f是以2l为周期的奇函数，或是定义在[- l,]] 上的奇函数,类似可推得ü.-8.1n元xdx = 0,n = 0,1,2,Lf(x)cos1(8)yn元xb.-7or1Osindx, n =1,2,L.b1回后页前页

前页 后页 返回 于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项, 即 其中如 (6) 式所示 (7) 式右边的级数称为余弦级数. 同理, 若 f 是以 2l 为周期的奇函数, 或是定义在 上的奇函数, 类似可推得