《数学分析》课程教学课件（讲稿）场论初步

＊ S 4 场论初步在物理学中，曲线积分和曲面积分有看广泛的应用.物理学家为了既能形象地表达有关的物理量，又能方便地使用数学工具进行逻辑表达和数据计算，使用了一些特殊的术语和记号，在此基础上产生了场论。一、场的概念二、梯度场三、散度场四、旋度场五、管量场与有势场岚回后页前页

前页 后页 返回 *§4 场论初步 在物理学中, 曲线积分和曲面积分有着广 泛的应用. 物理学家为了既能形象地表达有 关的物理量, 又能方便地使用数学工具进行 逻辑表达和数据计算, 使用了一些特殊的术 语和记号, 在此基础上产生了场论. 一 、场的概念 返回 五、管量场与有势场 三、散度场 四、旋度场 二、梯度场

一、场的概念若对全空间或其中某一区域V中每一点M,都有一个数量(或向量)与之对应,则称在V上给定了一个数量场（或向量场).例如：温度和密度都是数量场重力和速度都是向量场.在引进了直角坐标系后点M的位置可由坐标确定.因此给定了某个数量场就等于给定了一个数量函数u(x,y,z),在以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理，每返回后页前页

前页 后页 返回 一 、场的概念 若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个 数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场, M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就 总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点 等于给定了一个数量函数 在以下讨论中

个向量场都与某个向量函数A(x,y,z) = P(x, y,z) i+ Q(x, y,z) j+ R(x, y,z) k相对应.这里P,Q,R为所定义区域上的数量函数并假定它们有一阶连续偏导数设L为向量场中一条曲线.若L上每点M处的切线方向都与向量函数A在该点的方向一致，即dx_ dy_ dzPQ R邀回前页后页

前页 后页 返回 个向量场都与某个向量函数 相对应. 这里P, Q, R 为所定义区域上的数量函数, 并假定它们有一阶连续偏导数. 设 L 为向量场中一条曲线. 若L 上每点M 处的切线 方向都与向量函数 在该点的方向一致, 即

则称曲线L为向量场A的向量场线。例如电力线、磁力线等都是向量场线注场的性质是它本身的属性，和坐标系的引进无关引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来进行计算和研究它的性质返回前页后页

前页 后页 返回 磁力线等都是向量场线. 注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质. 则称曲线L 为向量场 的向量场线. 例如电力线

二、梯度场在第十七章83中我们已经介绍了梯度的概念，它是由数量函数x,V,z）所定义的向量函数grad u=i+兰i+k.grad u是由数量场u派生出来的一个向量场，称为梯度场. 由前文知道,grad u 的方向就是使方向导数[u/l 达到最大值的方向，grad u就是在这个方方向上的方向导数后页巡回前页

前页 后页 返回 二、梯度场 在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 它 方向上的方向导数. grad u 是由数量场u 派生出来的一个向量场, 称为 是由数量函数 所定义的向量函数 梯度场 grad u 的方向就是使方向导 . 由前文知道, 数 达到最大值的方向, 就是在这个方

因为数量场 u(x,y,z) 的等值面 u(x,y,z)=c 的法线uoaulu方向为所以gradu恒与u的等值面rz0正交.引进符号向量N-αl11o.''当把它作为运算符号来看待时，梯度可写作grad u = Nu.后页邀回前页

前页 后页 返回 因为数量场 的等值面 的法线 方向为 所以 grad u 恒与u 的等值面 正交. 当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作 引进符号向量

注N通常称为哈密顿(Hamilton)算符(或算子)读作"Nabla”.梯度有以下一些用N表示的基本性质：1.若u,v是数量函数,则N(u +v) = Nu+ Nv.2.若u，V是数量函数，则N(u x)= u(Nv)+(Nu)v.特别地有N(u)=2u(Nu)后贡巡回前页

前页 后页 返回 1. 若u, v 是数量函数, 则 2. 若u, v 是数量函数, 则 特别地有 梯度有以下一些用 表示的基本性质: 注 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读 作 “Nabla

3. 若 r =(x,J,z),j =j (x,y,z), qdj = dr xNji.4. 若 f = f(u),u=u(x,y,z),则Nf = fdu)Nu.5. 若 f = f(u,uz,L ,um), u, =u,(x, y,z), 则mINu.Nf=aJu;i-1这些公式读者可利用定义来直接验证后页邀回前页

前页 后页 返回 4. 若 5. 若 则 这些公式读者可利用定义来直接验证. 3. 若 则

例1设质量为m的质点位于原点，质量为1的质点位于 M(x, y,z), 记LILILF74OMr =试求 ㎡-的梯度，Nam om aex y z. o解一2Crrerorro若以 r 表示OM 的单位向量, 则有urmaem ?r./2éro滋回后页前页

前页 后页 返回 解 若以 上的单位向量, 则有 例1 设质量为m 的质点位于原点, 质量为1 的质点 位于 记

它表示两质点间的引力，方向朝着原点，大小与质量的乘积成正比，与两点间距离的平方成反比m一的梯度奶，因此常称这镜明了引力场是数量m一为引力势1邀回前页后页

前页 后页 返回 它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量 的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. 这说明了引力场是数量场 的梯度场, 因此常称 为引力势