《数学分析》课程教学课件（讲稿）欧拉积分

S3欧拉积分在本节中我们将讨论由含参量反常积分定义的两个很重要的非初等函数一G函数和B函数一、G函数二、B函数三、G函数与B函数之问的关系邀回后页前页

前页 后页 返回 §3 欧 拉 积 分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数 —— 一、 函数 二、 函数 返回 函数和 函数. 三、 函数与 函数之间的关系

一、G函数含参量积分：(1)G(s)= Q x"'e*dx,s >0,称为格马函数G 函数可以写成如下 两个积分之和 :十￥G(s)=Qx*le*dx+ Q x*'e *dx = I(s)+ J(s),其中 I(s)当s 3 1 时是正常积分, 当 0 < s<1 时是收的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);后贡巡回前页

前页 后页 返回 一． 函 数 含参量积分： 称为格马函数. 函数可以写成如下两个积分之和： 其中 时是正常积分,当 时是收敛 的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);

J(s)当s 3 0 时是收敛的无穷限反常积 分(也可用柯西判别法推得). 所以含参量积分(1)在 s >0时收敛,即 G函数的定义,域为 S> 0.1. G(s)在定义域 S>0 内连续且有任意阶导数在任何闭区向[a,b](a >0)上,对于函数I(s),当0<xt1时有x*le* x"le*,由于@x"le*dx 收敛,从而I(s)在[a,b] 上也一致收敛,对于J(s),当后贡返回前页

前页 后页 返回 时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西 判别法推得). 所以含参量积分(1)在 时收敛, 即 函数的定义域为. 1. 在定义域 内连续且有任意阶导数 在任何闭区间 上, 对于函数 当 时有 由于 收 敛, 从而 在 上也一致收敛, 对于 当

1 x0上连续。用上述相固的方法考察积分0 l(re*ax-0e"nxdr.它在任何区向[a,b](a>0)上一致收效. 于是由定理19.10得到 G(s)在[a,b] 上 可 导,由a,b的任意性,G(s)巡回前页后贡

前页 后页 返回 上连续. 用上述相同的方法考察积分 它在任何区间 上一致收敛. 于是由定理 19.10得到 在 上可导, 由a, b的任意性, 时, 有 由于 收敛,从而 在 上也一致收敛, 于是 在

在s>0上可导,且Gds)= Q x"'e'*In xdx,s >0.固理可证G"(s) = Q x"e *(lnx)"dx, s>0, n =2,3,L .2. 递推么式 G(s +1) = sG(s)对下述积分应用分部积分法，有 xe*dx=-x'e* +so x"l0ddxso xs-1Ae巡回后页前页

前页 后页 返回 同理可证 2. 递推公式 对下述积分应用分部积分法, 有 在 上可导, 且

A+?就得到GS的递推么式：(3)G(s + 1) = sG(s) .设n<s± n +1,即0 <s - n ± 1 ,应用递推么式(3) n次可以得到G(s +1) = sG(s) = s(s - 1)G(s - 1)=L(4)= s(s - 1)L (s - n)G(s - n). 式(3)还指出,如果已知 G(s)在 0 <s 尤 1上的值, 那巡回前页后页

前页 后页 返回 让 就得到 的递推公式: 设 应用递推公式(3) n次 可以得到 公式(3)还指出, 如果已知 在 上的值, 那

飞在其他范图内的函数值可由它计算出来。若s为正整数n+1,则(4)式可写成G(n +1) = n(n - 1)L 2 X XG(1)= n!Q e'*dx = n!. (5)3. G函数图象的讨论对一切s > 0,G(s)和G减s)径大于0, 因此 G(s)的图形位于x轴上方, 且是向下凸的. 因为G(1)=G(2)=1所以G(s)在s>0 上存在唯一的极小点 x,且x, I (1,2)返回后页前页

前页 后页 返回 么在其他范围内的函数值可由它计算出来. 若s为正整数n+1,则(4)式可写成 3. 函数图象的讨论 对一切 , 恒大于0, 因此 的图形 位于 轴上方, 且是向下凸的. 因为 所以 在 上存在唯一的极小点

又G(s)在(0, x)内严格减; 在(x,+)内严格增sG(S) _ G(s+1) (s >0) 及由于 (G(s) =sslim G(s + 1) = G(1) = 1 ,s?0故有G(s + 1)=+￥ :lim G(s) = lims?0+s?0*s由(5)式及G(S)在(X,十?)上严格增可推得lim G(s) = +￥ .S?+Y巡回前页后页

前页 后页 返回 故有 由(5)式及 在 上严格增可推得 又 在 内严格减;在 内严格增. 由于

综上所述,G函数的图象如图19-2中 S0部分所示。4. 延拓 G(s)改写递推么式(3)为G(s + 1)G(s) ==(6)s当- 1 < S < 0 时,(6)式右端有意义, 于是可应用(6)式来定义左端函数G(s)在(- 1, 0)内的值,并且可推知这时 G(s)< 0.巡回前页后页

前页 后页 返回 综上所述, 函数的图象如图19-2中 部分所示. 4. 延拓 改写递推公式 (3) 为 当 时, (6)式右端有意义, 于是可应用(6)式 来定义左端函数 在 内的值,并且可推知 这时

G(x)用同样的方法,利用43G(s)已在(-1,0)内有21定义这一事实,由(6)L-4-3-2-112 3 4 x式又可定义 G(s) 在-- 2F-3(- 2,- 1)内的值,而且F- 4这时 G(s)>0 . 依此图19-2下去可把G(s)延拓到整个数轴(除了s =0, - 1, - 2,L以外)，其图象如图19-2所示巡回前页后贡

前页 后页 返回 用同样的方法, 利用 式又可定义 在 内的值, 而且 这时 依此 下去可把 延拓到整个数轴(除了 以外),其图象如图19-2所示. 已在 内有 定义这一事实, 由(6)