《数学分析》课程教学课件（讲稿）重积分变量变换公式的证明

*S9重积分变量变换公式的证明本节将给出在x=x(u,v),=y(u,)具有一阶连续偏导数的条件下，重积分变量变换公式（定理21.13）的一般证明后页邀回前页

前页 后页 返回 本节将给出在 具有 一阶连续偏导数的条件下, 重积分变量 变换公式(定理21.13)的一般证明. §9 重积分变量变换公式的证明 返回

证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理引理设变换T:x, =j,(x,,x, (i=1,2)将x,x,平面上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域D一对一地变换成xx,平面上的闭域 D.又设i;(x,x,)(i=1,2)在 D 上具有一阶连续偏导数,并且J(xgx,9 - 102) 0, (xgx,91 De1(x,g,x,9)若 D 为 D内边长为 h 的任一正方形，D=T(Dg)返回前页后页

前页 后页 返回 在 上具有一阶连续偏导数,并且 若 为 内边长为 h 的任一正方形， 证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理. 引理 设变换 将 平面 上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域 一对一 地变换成 平面上的闭域 D . 又设

那么成立关系式m(D) =I J(x,g,x,9) / m(Dg + O(h"w(h)(1)(1O(h*w(h) |f C | h*w(h) ),其中(x,x,9为D的某一顶点,C为与 h及 D在D中的位置无关的常数，m(D)与 m(D9 分别表示区域 D与 D的面积w(h) = sup w,(h),i,j-1,2W,;(h) 是;(x,,x,9在 D上的连续模，即后贡巡回前页

前页 后页 返回 那么成立关系式 的位置无关的常数， 与 分别表示区域 与 的面积, 是 在 上的连续模, 即 其中 为 的某一顶点,C 为与 h及 在 中

29-j;(x-i ;(x)w;(h) = supitx?lyx,xD这里上确界是对所有(x,x,),(x,,x,IDs满足条件 /(x,- x,两)? +(x,2- x,的?<h 而取的.证不妨设正方形 D=[x,,x,+h]"[x,,x,+h],四个顶点: Pdx,gx,9), A以xe+ h,x,9, Cdx,+h,x,&+h)与 A,(x,,x,+ h)(图21-44). 于是 D=T(Dg是 D内的曲边四边形 PA,CA,(图21-45),且是一个闭域后贡巡回前页

前页 后页 返回 这里上确界是对所有 满足条 顶点: 而取的. 证 不妨设正方形 四个 (图21-44). 于是 是 D 内的曲边四边形 (图21-45), 且是一个闭域

其中(P,A,C,A,)=T(P A,,C A,),D 的边界 G则映为 D 的边界 G 设点 P的坐标为(x,x,)xSX21As,A2CsAsCeDDeDCPeAgA50Axs七0图21-45图21- 44对D内任一点 Q4xx,9,记 Q(xj,x,)=T(Q9.由于i;(x,§,x,9(i=1,2)在 D上连续可微,故由多元函数后页巡回前页

前页 后页 返回 对 内任一点 记 由于 其中 的边界 则映为 的边界 设点 的坐标为 在 上连续可微, 故由多元函数

微分中值定理,存在点(x,%x,291 Dd使得X, =x, +-j,(xA,xg)(xg- x)+j ;(xg,xg)(xg- x)(i=1,2),(2)x其中x位于 xg与xg(i=1,2;j=1,2)之间下面考虑从x,x平面到x,x,平面的线性映照T*：若 Qdx,&,x,ID,则 T*(Q9 =Q或xx, 其中邀回后页前页

前页 后页 返回 微分中值定理, 存在点 使得 其中 位于 与 之间. 下面考虑从 平面到 平面的线性映照 若 ,则 其中

→,(xg,xg)(xg- x) +(3),(xg,xg)(xg- xg)(i =1,2).由解析几何知道，在映照T下,正方形D被映照成平行四边形 PA,C,,其中 A,,C A分别为 A,&,C& Ag在映照T*下的象(图21-45).记这平行四边形为Dg它的边界为G由(3)式知D的两条边 PAi=1,2)的长分别为[ PA= ha,后贡巡回前页

前页 后页 返回 由解析几何知道, 在映照 下,正方形 被映照成平 行四边形 其中 分别为 由(3)式知 的两条边 的长分别为 的边界为 . 在映照 下的象(图21-45).记这平行四边形为 , 它

其中1i2CSaea(xx(i = 1,2).a, = rxg) ux):elxgexC10o 下面来估计点 Q=T(Q9与点 Q必=T*(O9之间的距离. 由 (2) 及 (3) 式有Uélx, - x必=.i.(x(x)(x- x) +U2Ué(xg,xg)i(xg- xg)(i=1,2)(xuQ后页岚回前页

前页 后页 返回 其中 下面来估计点 与点 之间的距 离. 由 (2) 及 (3) 式 有

从而由w(h）的定义可得I x, - x f w(V2h)h +w(V2h)h t 4w(V2h)h因此Q与Q之间的距离r (Q,Q9) =(x- x,) +(x- x2) f 6w(h)h. (4)Q§记l =6w(h)h,则由(4)式可见点 Q属于的甲邻令W = U U(Q&l ),Qi Gt后页巡回前页

前页 后页 返回 从而由 的定义可得 因此 与 之间的距离 记 ,则由(4)式可见点 属于 点 的闭邻 域 令

则 W 的面积 m(W)不会大于四个圆心在G的顶点，半径为的圆DeIWG的面积和四个以D的各边为底边,高为2l的46图21-46矩形面积之和(图21-46),即m(W) f 4pl * +2a 2l a,h f kh"w(h),(5)i1邀回后页前页

前页 后页 返回 会大于四个圆心在 的顶点, 半径为 的圆 的面积和四个以 的 矩形面积之和(图21-46), 则 的面积 不 各边为底边, 高为 的 即