《数学分析》课程教学资源（书籍文献）数学分析习题演练（第一册，编著：周民强，科学出版社）

数学分析习题演练（第一册）周民强编著斜学出版社Pwww.sciencep.com

前言学数学必须演算习题，这是大家的共识。通过它不仅能使我们熟悉理论的意义和应用，掌握方法的操作，同时还可以洞察理论本身的适应性，预测其扩展前景。因此，数学各分支都编写出了众多习题集或学习参考书，尤以微积分（或数学分析）类为最。作者在多年的教学实践中，积累了相当数量的练习题，且在培训学生过程中收到较好的效果。现在，在科学出版社编辑的鼓励下，把它们整理并编写出来，供读者参考，其目的也是为了开阔视野和启示思路。本习题集以上海科技出版社（2002年）出版的《数学分析》教材为蓝本因此，总的说来，选题的起点适当提高，侧重理论性和典范性，并力求多角度展示，减少了一般性命题及其在几何、力学方面的应用练习．解答也从简，不再在文字上多下功夫。书中还添加了若干注记，便于读者厘清某些误解。全书共分两册第一册分6章：实数与函数，极限论，连续函数，微分学（一），微分学（二），不定积分．第二册分6章：定积分，反常积分，常数项级数，函数项级数，幂级数、Taylor级数，Fourier级数由于作者的水平和视野所限，书中存在的错误和不足之处，欢迎读者批评指正,作者2006年技重于练，巧重于悟.R督R

内容简介本书是基于作者多年教学实践的积累整理编写而成的.全书共分为两册.第一册分为6章：实数与函数，极限论，连续函数，微分学（一），微分学（二），不定积分.第二册分为6章：定积分，反常积分，常数项级数，函数项级数，幂级数、Taylor级数，Fourier级数.本书选择的习题起点适当提高，侧重理论性和典范性.书中还添加了若干注记，便于读者厘清某些误解本书适合理工科院校及师范院校的本科生、研究生及教师参考使用。图书在版编目（CIP）数据数学分析习题演练．第一册/周民强编著，一北京：科学出版社，2006ISBN7-03-016950-6I.数…Ⅱ．周Ⅲ．数学分析-高等学校-习题IV.O17-44中国版本图书馆CIP数据核字（2006）第014463号贵任编：林鹏刘嘉善姚莉丽/责任校对：刘小梅责任印制：张克忠/封面设计：陈敬锦学虫服融出版北京东黄城根北街16号邮政编码：100717http://www.sciencep.com新蓄印刷厂印刷科学出版社发行各地新华书店经销R2006年7月第版1开本B5（720×1000）2006年7月第一次印刷印张：223/4印数：1-3000字数：432000香定价：29.00元（如有印装质量问题，我社负责调换（路通））

目录第1章实数、函数1.1实数1L1.1.1分类1.1.2稠密性&61.1.3常用公式1.2函数711.2.1函数的构成和表示手段简介111.2.2函数分类初步22第2章极限论222.1数列极限以及求极限的方法222.1.1*数列及其极限概念232.1.2求数列极限的方法492.1.3数列与子（数）列532.2收敛数列的典型单调有界数列·532.2.1数列单调性判别562.2.2数列有界性判别592.2.3数列收敛性判别692.2.4范例（e列）的应用732.3数列极限的Cauchy收敛准则2.4聚点、上下极限752.5函数极限89892.5.1函数的界2.5.292函数的极限概念962.5.3函数极限的基本性质1012.5.4著名极限、重要典式2.6渐近线107.2.7函数极限的Cauchy收敛准则、Stolz定理1082.8数列极限与函数极限的关系1092.9闭区间套序列、有限子覆盖117

目录iv121第3章连续函数3.1函数在一点连续的概念及其局部性质1213.2连续函数的运算性质，复合函数、反函数以及初等函数的连续性1261373.3闭区间上连续函数的重要性质1373.3.1有界性、最值性-1393.3.2中（介）值性·1463.3.3致连续性第4章微分学（一）：导数、微分1534.1导数概念1534.2基本初等函数的导数，求导运算法则，复合函数以及反函数的求导法1624.3导数的几何意义1704.4参数式函数和隐函数的导数1714.5微分1741774.6高阶导数、高阶微分4.7光滑曲线的几何量185第5章188微分学（二）：微分中值定理、Taylor公式5.1微分中值定理1885.2不定型的极限212-L'Hospital法则2205.3可微函数的性质2205.3.1函数的单调性2295.3.2不等式2395.3.3导函数的特征：.2425.3.4函数的极值5.4光滑曲线的几何特征2562565.4.1凹凸性.2615.4.2拐点5.5方程的根2642725.6Taylor公式2735.6.1Peano余项的Taylor公式2855.6.2Lagrange余项的Taylor公式2945.7函数和导函数的极限动态2945.7.1函数的极限动态2955.7.2导函数的极限动态

目录2985.8广义中值公式300第6章微分的逆运算一不定积分6.1原函数与不定积分的概念300-6.2积分法法则307..··3076.2.1不定积分运算的初等性质3116.2.2换元积分法..3206.2.3分部积分法3286.2.4不定积分的递推公式..6.3原函数是初等函数的几类函数积分法334..3346.3.1有理分式3386.3.2无理函数3506.3.3三角（超越）函数福友R

第1章：实数、函数数学分析是以研究函数性质为已任的，这些函数是定义在实数集（或有序实数组形成的点集)上，且取值为实数.因此，先对这方面的基础知识作一简单介绍和回顾是有益的.1.1实数1.1.1分类全体实数记为（一，o）或R正整数（自然数，1，2，，n，）全体记为N.整数（0，土1，士2.…，士n,)全体记为Z.有理数（㎡mEZ,nEN;m与n互素，为既约分数）全体记为Q无理数（非有理数之实数）全体记为R)Q代数数满足整系数代数方程ag"十ai"-1+…十a,=0的实数（根）.（有理数是代数数；+g7（qEQ）满足方程-2z+（p2-7q）=0，是代数数.）超越数非代数数的实数（圆周率，对数底e等）例1.1.1试证明下列命题：(1）若n是自然数，则Vn-1+/n+IERIQ（2）若自然数n不是完全平方数，则/nERIQ（3）设a，b，c是正有理数，若/a+/=c，则/aEQbEQ(4) (i) /2ERIQ(n≥2). (ii) nERIQ(n≥2)（5）存在正无理数a，b，使得α°是正整数证明（1）反证法.假定n-1+n十1=p/g（p与g是互素自然数），则易知力"n2-1=n=（p+4g)/4pg2.由此可知是十4g的因子，也即是的因子，这与假定矛盾（2）反证法.假定/n=p/q（p，g是互素自然数），则由ng=可知，q是的因子.从而得q?1，即p=n，这与题设矛盾(3) 记 d=4=b=a±()(-[)=/a-1)5,注意到/α+/6=c,可知cVa+/6Va-ctdVh-c-d22

2第1章实数、函数即得所证.（4）（i）反证法假定2EQ，记为2=(1+/)（p，q是互素正整数），则2=+)"-"++q".由此知q可除尽"，但这与，q互素矛盾.证毕（ii）反证法.假定存在rEQ，使得r=Vn，即"=n.易知rEN且r≥2.由此得r">n，矛盾.证毕（5）取a=/2，b=log/z3（bER/Q，否则有b=p/q=2log23，则2P=329.这是不可能的）可知α=3.例1.1.2试证明下列命题：(1）若有理数p/q(既约分式)是整系数多项式a,r"+a-ixrl++air+ao=0(an≠0)的根，则p是a。的因子，q是a，的因子（2）/2+/2与/3+/2都是无理数证明（1）用p/g代人方程并化简为anp"+an-ip"q+an-2p"2q+...+a-1+aq"=0由此知p是aoq"的因子，但p。不是q"的因子，故p。是ao的因子.类似地可证q是a，的因子.（2）易知/2+/2，/3+/2分别满足方程6-4+122-24-4-0,-9元-4+272-36-23=0从而由(1)立即得证定义1.1.1一个实数集E的全部元素若能按自然数次序排列起来，即E=(a1，2，"an，…)，则称E为可列集定理1.1.1若EI，E都是可列集，则其并集EUE是可列集.证明不妨设EnE=，E=a,a2，,a，…,E{b，b，，b，，则对UE中全部元素排列为11专ar,bi.a2,b2,..,an,b,,...,1-40341即可得证，22222例1.1.3试证明下列命题：2345+大（1）自然数集N是可列集，偶正整33/435332数全体是可列集。（2）正有理数全体Q+是可列集，图1.1（3）有理数全体Q是可列集

1.1实数3证明（2）作Q之方阵如图1.1，并按所示箭头为序把全体正有理数Q+排列如下：111231，4，5，言(r.):1,,2,3,23'4'32其中舍去重复者，且仅保留可约化的最简式。（3）因为正有理数全体是可列集，而负有理数全体只是前者在每个数前多一个“二”号，所以只要按前者的排序仍可排列起来，根据定理1.1.1即知Q是可列集（注意，数“0”可排在最前面）定理1.1.2开区间（0,1)中的全体实数是不可排列的证明用反证法.将（0，1)中实数都用十进位小数表示，并舍弃其小数点后连续出现无限个“0"的表示法.现在假定(0,1)中实数是可排列的，不妨将全体排列为《a,）：ay=0.a11a12a1na2 = 0. a21a22""azn"an=O.anan2"am"下面将指出这是不可能的，即可找出（0，1)中一个实数b，它不在排列中.我们取b=0.bb..b.…·如下·br若a11=1，则取b=2；若au半1,则取b=1.b2若a22=1,则取bz=2若a22半1,则取bz=1.b若am=1则取b,=2;若am≠1,则取b,=1.显然ba（i=1,2，，n，），这说明小数b没有在排列之中.这一矛盾指出（0，1)中实数全体是不可排列的.我们称不可排列的数集为不可列集.因此，(0，1)是不可列集，随之（0，1）中无理数全体是不可列集.这说明无理数的“数量”要比有理数“多得多”只有有限个元素的集合称为有限集，非有限集称为无限集.可列集是无限集，有限集与可列集统称为至多可列集，例1.1.4由直线（实数全体）上互不相交的开区间形成的集合是至多可列集证明在每个开区间中取定一个有理数，显然这些有理数互不相同，因此开区间的“数量”与所选的有理数“数量”相同，即得所证。1.1.2稠密性定义1.1.2设E是R中的一个实数集.若任意两个实数之间必有E中的一个数，则称E在R中稠密.例1.1.5（有理数的稠密性）设a，b是两个不同实数，且a<b，则存在有理数

第1章实数、函数r:a0,所以存在正整数n，使得00,b>0，则/2位于(a+26)/(a+十6)与a/b之间(3）若m，n取遍一切自然数，则数列m/n2）在（0，80）上稠密an→1(n→00),则数集(am/an:m≥n≥1)在(4）若(a,)是递增无上界列，且(1,+8)中稠密证明（1）作r，一[nx]/n即可（2）若a/b≥/z，则我们有a+2b = 1 +6112+/2=/2.=1+a/6+i≤1+a+ba+b1+21+V2由此即可得证.（3）对任一实数a>0，以及e>0,取n，m使得2V匠+7m2(m+1)2<e-n?nR从而可知m22m+12/元50<a2nen即得所证