《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章向量代数与空间解析几何_第三节平面及其方程

第三节平面及其方程曲面方程与空间曲线方程的概念平面的点法式方程三、平面的一般方程四、两平面的夹角五、平面的参数方程返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 平面及其方程 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 *五、平面的参数方程 一、曲面方程与空间曲线方程的概念

第三节 平面及其方程一曲面方程与空间曲线方程的概念1.曲面方程的定义定义如果曲面S与方程F(x,y,z）=0有下述关系：（1）曲面S上的任意点的坐标都满足此方程(2）不在曲面S上的点的坐标不满足此方程F(x, y, z) = 0则F(x,y,z）=0叫做曲面S的方程，曲面S叫做方程F(x,J,z)=0的图形XMathGS下页返回公式数学家上页线与面

第三节 平面及其方程 一、曲面方程与空间曲线方程的概念 S F(x, y, z) = 0 x y z 1. 曲面方程的定义 定义 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述 (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 关系: F( x, y, z ) = 0 的图形

第三节 平面及其方程如图所示的曲面叫莫比乌斯带返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 平面及其方程 如图所示的曲面叫 莫比乌斯带 x y z

第三节 平面及其方程2.空间曲线方程的定义设曲面Su，S,的方程分别为S : F(x,y,z) = 0 ,SS2 : G(x,y,z) = 0 ,则它们的交线方程为7F(x,y,z)=0,G(x, y,z)= 0,S称之为空间曲线的一般方程MathGS公式下页返回线与面数学家上页

第三节 平面及其方程 2. 空间曲线方程的定义 设曲面S1，S2的方程分别为 x y z S1 S2 则它们的交线方程为 称之为空间曲线的一般方程

第三节 平面及其方程二、平面的点法式方程确定平面的方法：(1）一个点和一个非零向量；(2）三个不共线的点：(3）两条相交直线；（4）一个点和两个不共线的向量返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 平面及其方程 二、平面的点法式方程 (1) 一个点和一个非零向量； (2) 三个不共线的点； (3) 两条相交直线； 确定平面的方法： (4) 一个点和两个不共线的向量

第三节平面及其方程设一平面通过已知点M。（xo,Jo,zo）且垂直于非零向量 n=(A,B,C),求该平面IⅡ的方程ZMo.任取点 M(x,y,z)e II,则有1M.M In.故 M.M·n=0,+MoM = (x-xo,y-yo,z-zo)A(x-xo)+B(y-y)+C(z-z)=0上式称为平面Ⅱ的点法式方程，称n为平面的法向量返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 平面及其方程 x y z ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 . A x − x0 + B y − y0 +C z − z0 = 上式称为平面 的点法式方程, 求该平面 的方程. M (x, y,z) Π , 称n为平面的法向量. 量 n = (A , B, C), . M0 M ⊥n 0 , M0 M n = 则有 故 任取点 M0 M n

第三节平面及其方程例1 求过点(2,-3, 0)且以 n =(1,-2, 3)为法向量的平面方程，解包例2 求过三点M,(2,-1, -3), M2(-1, -1, 3)和M3(3, 1, 1)的平面方程，M2解包MIM3P返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 平面及其方程 M1 M2 M3 x y z n 例1 求过点(2, -3, 0)且以 n = (1, -2, 3)为法向量的平 面方程． 第三节 平面及其方程 x y z O n 例1 求过点(2, -3, 0)且以 n = (1, -2, 3)为法向量的平 面方程． 解 由点法式方程，得所求平面的方程为 1·(x – 2) –2(y + 3) + 3(z – 0) = 0, 即 x – 2y + 3z – 8 = 0. 例2 求过三点M1 (2, -1, -3), M2 (-1, -1, 3)和M3 (3, 1, 1) 的平面方程． 第三节 平面及其方程 M1 M2 M3 x y z n 解 先求平面的法向量n． 例2 求过三点M1 (2, -1, -3), M2 (-1, -1, 3)和M3 (3, 1, 1) 的平面方程． 由于 , , n ⊥ M1 M2 n ⊥ M1 M3 故可取 . n = M1 M2  M1 M3 而 ( 3 , 0 , 6) , (1, 2 , 4) , M1 M2 = − M1 M3 = 故 12 18 6 . 1 2 4 1 2 1 3 3 0 6 i j k i j k n = M M  M M = − = − + −

第三节 平面及其方程一般地，过三点 Mk(xk,k,z）(k=1,2,3)的平面方程为Mx-xi7y-yi=0.x2 -xiZ2 - Z1y2 -yiMM.X3 -XiZ3 - Z1V3-yiMx称之为平面的三点式方程返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 平面及其方程 一般地，过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 称之为平面的三点式方程． M1 M2 M3 M x y

第三节平面及其方程设平面与三个坐标轴的交点分别为P(a,0,0)Q(0,b,0)，R(0,0,c)， abc≠0，则由平面的三点式方程得平面的方程为RQyLX一ab0=0a0Ca按第一行展开，并化简，得X+二+==1．称之为平面的截距式方程baC上页下页返回MathGS公式数学家线与面

第三节 平面及其方程 P Q R x y z O 设平面与三个坐标轴的交点分别为 P(a, 0, 0)， Q(0, b, 0)，R(0, 0, c)，abc  0， 得平面的方程为 0 . 0 0 = − − − a c a b x a y z 按第一行展开，并化简，得 + + =1. c z b y a x 称之为平面的截距式方程． 则由平面的三点式方程

第三节平面及其方程三、平面的一般方程点法式方程A(x-xo)+ B(y- yo)+C(z-zo)= 0,化简Ax + By+Cz + D = 0 (D = - Ax - Byo -Czo)反之，对给定的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0，其中A,B,C不同时为零，设xo，yo，Zo是满足该方程的一组数即 Axo+Byo+Czo+D=0，两式相减，得A(x-xo)+ B(y-yo)+C(z-zo)= 0上页下页返回MathGS公式数学家线与面

第三节 平面及其方程 三、平面的一般方程 ( ) ( ) ( ) 0 , 点法式方程 A x − x0 + B y − y0 +C z − z0 = 0 ( ). Ax + By +Cz + D = D = −Ax0 − By0 −Cz0 反之，对给定的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0，其中 A,B,C不同时为零， 化简 设x0 , y0 , z0 是满足该方程的一组数， 即 Ax0+By0+Cz0+D=0，两式相减，得 ( ) ( ) ( ) 0 . A x − x0 + B y − y0 +C z − z0 =