《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章重积分_第十章习题课

第十章习题课及应用重积分的计算重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

习题课 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 重积分的 计算 及应用

重积分计算的基本方法一、累次积分法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面（线）围成被积函数用此坐标表示简洁或变量分离2.选择易计算的积分序积分域分块要少，累次积分易算为妙3.掌握确定积分限的方法图示法(从内到外：面、线、点)列不等式法HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

练习P1822 (3); 7; 8 (1), (3)补充题(x+y)d,其中D由y~=2x,计算积分Dx+y=4,x+y=12所围成解答提示：：（接下页）HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

练习 计算积分 其中D 由 所围成. P182 2 (3) ; 7; 8 (1), (3) 补充题: 解答提示: (接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P1822 (3).计算二重积分R?-x?-y? don1x2+y2=Rx所围成的闭区域其中D为圆周提示：利用极坐标r =Rcos00≤r≤Rcos0元元22.福ORx2Rcosede原式：R/di41元02(1-sin" 0)deHIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

2 (3). 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 r = Rcos 原式  = − 2 0 3 3 (1 sin )d 3 2  R   y D R x o    D : 0  r  Rcos 2 2   −   机动 目录 上页 下页 返回 结束 P182

7.把积分of(x,y,z)dxdydz化为三次积分P182=×2+2,=2及平面=1,z=0其中由曲面所围成的闭区域提示：积分域为0≤z≤x"+x≤≤lQ-1≤x≤1原式(dx [dy/ f(x,y,z)dz0HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

7. 把积分 化为三次积分, 其中由曲面 提示: 积分域为  : 原式  + 2 2 0 ( , , )d x y f x y z z 及平面  1 2 d x y  − = 1 1 dx 所围成的闭区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P182

P182 8（1).计算积分dxdydz，其中2是两个球x? + ? +z? ≤R? 及x? +y? +2?≤2RzR-2R（R>0)的公共部分提示：由于被积函数缺x，J利用“先二后一”计算方便222 dzdxdy +dxdy原式=JD12D2·元(R? -z2)dzπ(2Rz-z)dz+59TRS480HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

D1z D 2 z 8 (1) .计算积分 其中是两个球 ( R > 0 )的公共部分. 提示: 由于被积函数缺 x , y , 原式 = D z x y 1 d d z Rz z z R (2 )d 2 0 2 2  =  − 利用“先二后一” 计算方便 . z z R d 2 0 2  D z x y 2 z z d d R R d 2 2  + z R z z R R ( )d 2 2 2 2  +  − 5 480 59 =  R R z y x o 2 R 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P182

[。(2 +22)dv,其中Q是由P182 8(3).计算三重积分xoy平面上曲线y~=2x绕 x轴旋转而成的曲面与平面=所围成的闭区域x=xy=rcoso提示：禾利用柱坐标z=rsino≤x≤50≤r≤V102:30≤0≤2元250原式dxde元3HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

8 (3).计算三重积分 其中是由 xoy平面上曲线 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标   sin cos z r y r x x = = = 原式  5 2 2 d r x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 5 2 2 1 r  x  0  r  10 0   2 r dr 10 0 3   =   2 0 d  3 250 =  : z x y o 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P182

小(x+y)do,其中D 由y2=2x补充题计算积分Dx+y=4,x+y=12所围成y2 = 2x420提示:如图所示 D=D2/D1DP2f(x,y)=x+ y在D2内有定义且拉XDV连续,所以(x+y)do(x+y)d-[J,(x+y)da=(x+y)dx(x+y)dx -1154315HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

补充题. 计算积分 其中D 由 所围成 . 提示:如图所示 y 2x 2 = 4 2 − 4 − 6 o y x \ , D = D2 D1 f (x, y) = x + y在D2内有定义且 + = D (x y)d  + 2 ( )d D x y   − + 1 ( )d D x y  连续, 所以  − + y y x y x 12 2 2 ( )d − = 4 6 dy  − + y y x y x 4 2 2 ( )d − − 2 4 dy 15 11 == 543 D1 D2 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、重积分计算的基本技巧1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算分块积分法3.消去被积函数绝对值符号利用对称性4.利用重积分换元公式练习题P182P182 1（总习题九)：4, 8(2), 11解答提示：（接下页）HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

二、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 练习题 4. 利用重积分换元公式 P182 1 (总习题九) ; P182 4, 8(2), 11 解答提示: (接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P182 4.证明：'em(a-x) f(x)dx =(a-x)em(a-x)f(x)dx提示：左端积分区域如图Dy=x交换积分顺序即可证得?xx+v-路JJJdv,其中2是P182 8(2).求+12 +y2+22=1 所围成的闭区域由球面xz提示：被积函数在对称域Q上关于为奇函数，利用对称性可知原式为0HIGH EDUCATION PRESS返回机动目录上页下页结束

   − − = − a m a x y m a x a y e f x x a x e f x x 0 ( ) 0 ( ) 0 d ( )d ( ) ( )d 证明: 提示: 左端积分区域如图, D o y x y = x a 交换积分顺序即可证得. P182 4. 8(2). d , 1 ln( 1) 2 2 2 2 2 2 v x y z z x y z  + + + + + + 求 其中是 1 2 2 2 x + y + z = 所围成的闭区域 . 提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由球面 P182