《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章曲线积分与曲面积分_第五节对坐标的曲面积分

第五节对坐标的曲面积分有向曲面及面积元素的投影二、概念与性质三、计算方法四、两类曲面积分之间的联系下页返回MathGs上页公式数学家线与面

第五节 对坐标的曲面积分 一、有向曲面及面积元素的投影 二、概念与性质 三、计算方法 四、两类曲面积分之间的联系

第五节 对坐标的曲面积分一、有向曲面及面积元素的投影1.曲面分类曲面可分为双侧曲面和单侧曲面．有些简单的双侧曲面可直接指出其侧为上下、左右、前后和内外等ZZ.x内外侧上下侧前后侧下页MathGs上页返回公式数学家线与面

第五节 对坐标的曲面积分 一、有向曲面及面积元素的投影 曲面可分为双侧曲面和单侧曲面．有些简单的双侧 曲面可直接指出其侧为上下、左右、前后和内外等． 内外侧 上下侧 前后侧 1. 曲面分类 x y z x y z x y z

第五节对坐标的曲面积分单侧曲面莫比乌斯带克莱因瓶下页返回MathGs上页公式数学家线与面

第五节 对坐标的曲面积分 单侧曲面 莫比乌斯带 克莱因瓶

第五节对坐标的曲面积分有些双侧曲面直观上指出其侧比较困难，例如X下页MathGs上页返回公式数学家线与面

第五节 对坐标的曲面积分 有些双侧曲面直观上指出其侧比较困难，例如 x y z x y z

第五节对坐标的曲面积分2.有向曲面其侧由法向量指定，指定了侧的曲面叫有向曲面cos b封闭曲面方向余弦cosgcosa外侧>0 为前侧>0 为右侧>0为上侧侧的规定内侧<0 为后侧<0 为下侧<0 为左侧下页返回MathGs公式上页线与面数学家

第五节 对坐标的曲面积分 其侧由法向量指定． 方向余弦 > 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 2. 有向曲面

第五节对坐标的曲面积分3.面积元素的投影设为有向曲面，其面元DS在xOy面上的投影记为0(DS)xy,(DS)x，的面积为(Ds)xy7则规定(Ds )xy, cosg > 0,(DS)x=DScosg =^- (Ds )xy, cosg <0,0.cosg° 0.类似可规定 (DS)x, (DS) xXDSX1下页返回MathGS公式上页线与面数学家

第五节 对坐标的曲面积分 设 ￾ 为有向曲面, 其面元 在 xOy 面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定 3. 面积元素的投影 ￾ S n ￾ x y z O

第五节对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分的概念与性质二、1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为V=(P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z))的流量求单位时间流过有向曲面口V若口是面积为S的平面n国A法向量：n=(cosa,cosb,cosg),流速为常向量：V则流量@=Sxvcosq=Svxn.下页返回MathGS上页公式数学家线与面

第五节 对坐标的曲面积分 ￾ A v n 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面￾ 的流量￾ . 若￾ 是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量:

第五节对坐标的曲面积分对一般的有向曲面口，对稳定流动的不可压缩流体的速度场V=(P(x, y,z), Q(x, y, z), R(x, y,z)),用“分割、近似、求和、取极限”的方法进行分析可得@-lima y, xn, DS,1 ?0 =1SX下页返回MathGs上页公式数学家线与面

第五节 对坐标的曲面积分 x y z 对一般的有向曲面￾ , 用“分割、近似、求和、取极限” 的方法进行分析可得 对稳定流动的不可压缩流体 的速度场

第五节对坐标的曲面积分设 n, =(cosa,,cos b,,cosg,),则na@ = lim[P(x,h,,z,)cosa , +Q(x,h,,z,)cos b, +R(x,h,z ,)cosg. JDS1?O1-1noa= lim[P(x,h,z,)(DS )y= +O(x,h,,z,)(DS,)-x + R(x,h,z ,)(DS,)xr 1?O1-1+下页返回MathGS上页公式数学家线与面

第五节 对坐标的曲面积分 设 则 x y z

第五节对坐标的曲面积分2.定义定义设为光滑的有向曲面，函数R(x，Vz)在把口任意分成n块小曲面口S（口S,同时又表示有界块小曲蔷的面积)，口 S,在 xoy面上的投影为(口 S)s，作乘积（口，口，口）是口S上任意取定的一点，R(x,h,z,D(DS) (i=1, 2,L , n),并作和aR(x,h,,z)(DS,)x1=1如果当各小块曲面的直径的最大值口口0时这和的极限总存在，且与曲面口的分法及点（口，，，，）的取法无关，下页MathGs上页返回公式数学家线与面

第五节 对坐标的曲面积分 定义 设￾ 为光滑的有向曲面, 函数 R(x , y , z) 在 ￾ 上 2. 定义 有界．把￾ 任意分成 n 块小曲面 ￾ Si (￾ Si 同时又表示 第 i 块小曲面的面积)，￾ Si 在 xOy 面上的投影为 (￾ Si ) xy ， (￾ i , ￾ i , ￾ i ) 是 ￾ Si 上任意取定的 一点， 作乘积 并作和 如果当各小块曲面的直径的最大值 ￾ ￾ 0 时，这和的极限 总存在，且与曲面￾ 的分法及点(￾ i , ￾ i , ￾ i )的取法 无关