《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章曲线积分与曲面积分_第十一章习题课

第十一章习题课线面积分的计算曲线积分的计算法一、二、曲面积分的计算法HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

习题课 一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 线面积分的计算 第十一章

一、日曲线积分的计算法1.基本方法第一类（对弧长曲线积分定积分转花→第二类（对坐标用参数方程(1)统一积分变量用直角坐标方程用极坐标方程第一类:下小上大确定积分上下限2)1第二类:下始上终练习题P246题3 (1),(3),(6)HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

一、曲线积分的计算法 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 练习题: P246 题 3 (1), (3), (6) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解答提示：P246 3 (1)计算+y2ds其中L为圆周ax元提示：利用极坐标，Lr=acosods= / r2 +r'2de=ade+元2cos*0.ad0 = 2a2axds原式=2说明：若用参数方程计算，则(l+cost)元x=福ax（0≤t≤2元）sint0ds=Vx2+HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

解答提示: 计算 其中L为圆周 提示: 利用极坐标 , d d 2 2 s = r + r  原式 = ax s L d  说明: 若用参数方程计算, o a x y r  = ad t 则 d s x y d t 2 2 =  +  机动 目录 上页 下页 返回 结束 P246 3 (1)

计算P246 3(3).(2a-y)dx+xdy,其中L为摆线x=a(t-sint), y=a(l-cost)上对应 t从 0 到2元的一段弧提示：(2a-y)dx+xd y=a(l+cost)·a(l-cost)dt+a(t-sint)·asintdt=a'tsintdt2元原式=αtsintdt2元= α?[-t cost - sint=-2元α0HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

P246 3(3). 计算 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示:   = 2 0 2 原式 a tsin td t   2 0 2 = a − t cost − sint 机动 目录 上页 下页 返回 结束

计算xyzdz,其中r由平面y=z截球面P2463(6).JI+z2=1所得,从z轴正向看沿逆时针方向提示因在「上有x2+22=1,故x=costI:3 y=sint(0≤t≤2元）sint=22元cos?tsin?tdt原式=2V2.2/2:4//2 cos? t(1-cos? t)d t2元元元164222HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

z o y x 1 P246 3(6). 计算 其中由平面 y = z 截球面 提示: 因在 上有 故 原式 =       =  −   2 2 1 4 3 2 2 1 2   从 z 轴正向看沿逆时针方向. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.基本技巧(1）利用对称性及重心公式简化计算：(2）利用积分与路径无关的等价条件（3）利用格林公式（注意加辅助线的技巧（4）利用斯托克斯公式：(5）利用两类曲线积分的联系公式HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 2. 基本技巧 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.计算I=(x2 +y+z2)ds,其中 为曲线x+y+z=0解：利用轮换对称性，有_x- ds = Jy? ds = [μz2Jrds =J ds= 0(T的重心在原点)利用重心公式知x2 + y? +2?ds元0HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

例1. 计算 其中 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 x ds y ds z ds 2 2 2    = = 利用重心公式知 I (x y z )ds 3 2 2 2 2  = + +  3 3 4 =  a z o y x  (的重心在原点) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.计算I：[ (x? -y)dx+ (y2 -x)dy, 其中L是沿逆时针方向以原点为中心，α为半径的上半圆周解法1令P=x--y, Q=y2-x,则apOx故这说明积分与路径无关，BAx(x - y)dx+(y2 -x)dyOHIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

例2. 计算 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心, C o y B A x L 解法1 令 , , 2 2 P = x − y Q = y − x 则 这说明积分与路径无关, 故 I x y x y x y AB( )d ( )d 2 2 = − + −   − = a a x d x 2 a 为半径的上半圆周. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解法2添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D,则(x2 - y)dx+(y2 -x)d y1L+REJra(x? -y)dx+(y2 -x)dyBBAxJJ,o.dxdy-J"x? dx:（利用格林公式）思考：（1）若L改为顺时针方向,如何计算下述积分I1=[, (x? -3y)dx+(y? -x)dy(2）若L同例2，如何计算下述积分I2 =[,(x? - y + y2)dx+(y2 -x)dyHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束机动

解法2 BA, 它与L所围区域为D, C o y B A x L  =  D 0 d xd y x y x y x y BA( )d ( )d 2 2 − − + −  x x a a d 2 − − D (利用格林公式) 思考: (2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:  = − + − L I (x y )d x ( y x)d y 2 2 2 2 + y  = − + − L I (x y)d x ( y x)d y 2 2 1 3 3 3 2 = − a (1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:  + = − + − L BA I (x y)d x ( y x)d y 2 2 添加辅助线段 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考题解答：(1)li = (, (x? - 3y)dx+(y2 -x)dyJL+ABABBAxdxdy+1一元(2)12 = JL(x2 - y+y2)dx+(y2 -x)dy,(x? - y)dx +(y2 -x)dy+ I, y? dxL:x=acost, y=asint, t:0→πa' sin'tdtHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束机动

思考题解答:  = − + − L I (x y)d x ( y x)d y 2 2 (1) 1 3   = − L+AB AB  = − D 2 d xd y ) 3 2 ( 2 = a a −  = − + − L I (x y )d x ( y x)d y 2 2 2 2 (2) + y  = − + − L (x y)d x (y x)dy 2 2  + L y dx 2 a sin t d t 3 0 3  −  L : x = acost, y = asint, 3 3 2 = − a 3 = −2a t : 0 → 3 3 2 + a = I C o y B A x L D 机动 目录 上页 下页 返回 结束