《数学分析》课程教学课件（讲稿）第一型曲面积分

S1 第一型曲面积分第一型曲面积分的典型物理背景是求物质曲面的质量由于定积分、重积分、第一型曲线积分与第一型曲面积分它们同属“黎曼积分”，因此具有相同实质的性质一、第一型曲面积分的概念二、第一型曲面积分的计算前页后页返回

前页 后页 返回 §1 第一型曲面积分 第一型曲面积分的典型物理背景是求物 质曲面的质量. 由于定积分、重积分、第一 型曲线积分与第一型曲面积分它们同属 “黎曼积分”，因此具有相同实质的性质. 一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算 返回

一、第一型曲面积分的概念类似第一型曲线积分，当质量分布在某一曲面块S，且密度函数p(x,y,z)在 S上连续时，曲面块S的质量为极限lim,Zp(5i,n,5,)AS,,ITII->0 i-1其中 T={S,,S,·,S,}为曲面块的分割，△S,表示小曲面块S,的面积，（5;,n;,S）为S,中任意一点，ⅡTⅡ 为分割 T的细度，即为诸 S,中的最大直径返回前页后页

前页 后页 返回 示小曲面块 Si ( , , ) i i i    的面积， 为 Si 中任意一点， 1 2 { , , } T S S S = n ., 其中 为曲面块的分割， Si 表 一、第一型曲面积分的概念 类似第一型曲线积分, 当质量分布在某一曲面块S， 量为极限 → =  i || || 0 1 lim ( , , ) , n i i i T i     S || || T 为分割 T 的细度，即为诸 Si 中的最大直径. 且密度函数 ( , , ) x y z 在 S上连续时，曲面块 S 的质

定义1 设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数.对曲面S作分割T，它把S分成n个小曲面块S,(i=1,2,,n),以△S,记小曲面块S,的面积,分割 T 的细度T I= max(S,的直径)，在S,上任取一点(5,ni,5,)(i=1,2,,n),若存在极限7lim, Zf(5,n,5)AS, =1,T10-且与分割T及(;,ni,S)的取法无关,则称此极限为f(x,y,z)在 S上的第一型曲面积分,记作后页返回前页

前页 后页 返回 Si ( , , ) ( 1, 2, , ), i i i 上任取一点    i n = 若存在极限 || || 0 1 lim ( , , ) , n i i i i T i f S I     → =  = 定义在S上的函数. 对曲面S作分割T, 它把 S 分成 n 个小曲面块 S i n S i i ( 1, 2, , ), = 以 记小曲面块 Si   1 || || max i i n T S   的面积, 分割T 的细度 = 的直径 ， 在 定义1 设S是空间中可求面积的曲面, f x y z ( , , ) 为 且与分割 T 及 ( , , )    i i i 的取法 无关, 则称此极限为 f x y z S ( , , ) 在 上的第一型曲面积分, 记作

I = JJ f(x,y,z)dS .(1)S于是，前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为：m= JJ p(x, y,z)ds .Sds就是曲面特别地,当 f(x,y,z)=1 时,曲面积分S块S的面积后页返回前页

前页 后页 返回 ( , , )d . (1) S I f x y z S =  于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为: f x y z ( , , ) 1  d S S 特别地  , 当 时,曲面积分 就是曲面 块 S 的面积. ( , , )d . S m x y z S =  

二、第一型曲面积分的计算第一型曲面积分需要化为二重积分来计算设有光滑曲面定理22.1S: z = z(x,y),(x,y)eD,f(x,,z)为S上的连续函数,则[[ f(x,y,z)dS = [[ f(x,y,z(x,y) /1 +zi +z,dxdySD··(2)（定理证明与曲线积分的定理20.1相仿，不再详述.）前页后页返回

前页 后页 返回 二、第一型曲面积分的计算 第一型曲面积分需要化为二重积分来计算. 定理22.1 设有光滑曲面 S z z x y x y D : ( , ) , ( , ) , =  f x y z ( , , ) 为S上的连续函数, 则 2 2 ( , , )d ( , , ( , )) 1 d d . x y S D f x y z S f x y z x y z z x y = + +   (2) ( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )

N ds,其中s例1 计算S1是球面x2+y+z2=α2被0平面 z=h(O<h<a) 所截图22-1得的顶部（图22-1)解 曲面的方程为z=a2-x2-，定义域 D为圆域x2+y"<a2-h2.由于a/1+z*+z,-5a?-x?后页返回前页

前页 后页 返回 1 d , S S z 例1 计算  其中 S 2 2 2 2 是球面 x y z a + + = 被 平面 z h h a =   (0 ) 所截 得的顶部(图22-1). x y h O z a 图 22 1 − S = − − 定义域 为 2 2 2 解 曲面 的方程为 z a x y , D 圆域 +  − 2 2 2 2 x y a h . 由于 2 2 2 2 2 1 , x y a z z a x y + + = − −

因此由公式(2)求得dsadxdy222a-yDSUNa?-h??2元aderdra?-r?10JoVa?-h?rdrtaa?-r?JoVa?-h2=-πaln(a2 -r°)a= 2a元 ln =.h前页后页返回

前页 后页 返回 2 2 2 d d d S D S a x y z a x y = − −   因此由公式(2)求得 2 2 2 2 0 2 d a h r a r a r  − = −  2 πln . a a h = 2 2 2π 2 2 0 0 d d a h a r r a r  − = −   2 2 2 2 0 π ln( ) a h a a r − = − −

2J (xy + zx + yz)ds,例2计算s其中 为圆锥面z=x+y2F被圆柱面 x2+ y2=2ax 所割07yx? + y'=2ax下的部分（图22-2）x图 22 - 2解对于圆锥面z=x+y2有xyrx+y.后页返回前页

前页 后页 返回 例2 计算 ( )d , S xy zx yz S + +  S 2 2 其中 为圆锥面 z x y = + 被圆柱面 2 2 x y ax + = 2 所割 下的部分(图22-2). 解 对于圆锥面 2 2 z x y = + , 有 图22 2 − y x O 2 2 z x y = + 2 2 x y ax + = 2 z 2 2 2 2 , , x y x y z z x y x y = = + +

/1+zi +z, = /2;而 s在 xy 平面上的投影为D(x):(x-a)"+y2≤α2因此I = [f (xy + zx + yz)dsS= /2 J (xy +(x+ y)/x + y2) dxdy.D(xy)用二重积分的极坐标变换前页后页返回

前页 后页 返回 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) d d . D xy = + + + xy x y x y x y  ( )d S I xy zx yz S = + +  2 2 1 2; x y + + = z z 因此 用二重积分的极坐标变换, S xy 2 2 2 ( ) : ( ) . 而 在 平面上的投影为 D x a y a xy − + 

元2acostI = /2[2, (sin t cost + sint + cos t)dtr'dr1021- 4/2a f (sint cost + sint + cost)cos* tdt264= 8/2a* [2 cos’ tdlt04015对于由参量形式表示的光滑曲面x = x(u,v),S: y= y(u,v), (u,v)e D,(z =z(u,v),前页后页返回

前页 后页 返回 π 2 cos 3 2 π 0 2 2 (sin cos sin cos )d d a t I t t t t t r r − = + +   π 4 4 2 π 2 4 2 (sin cos sin cos )cos d a t t t t t t − = + +  π 4 5 4 2 0 64 8 2 cos 2 . 15 = = a tdt a   对于由参量形式表示的光滑曲面 ( , ), : ( , ), ( , ) , ( , ), x x u v S y y u v u v D z z u v  =   =   = 