《数学分析》课程教学课件（讲稿）三重积分

S5三重积分三重积分的典型物理背景是求密度非均匀分布的空问物体的质量.研究三重积分的方法和步骤与二重积分相似。三重积分的概念一、二化三重积分为累次积分三、 三重积分换元法邀回后页前页

前页 后页 返回 §5 三 重 积 分 三重积分的典型物理背景是求密度非均 匀分布的空间物体的质量. 研究三重积分 的方法和步骤与二重积分相似. 一、 三重积分的概念 二、 化三重积分为累次积分 三、 三重积分换元法 返回

一、三重积分的概念与二重积分相类似,通过求一个空间立体V的质量M就可导出三重积分. 设V的密度函数为f(x,J,z)为了求 V的质量,把 V分割成 n小块：V,Vz,K,V,在每一小块 V,上任取一点(x;,h,不,),则nM = lim a f(x,h,,V)DV,[@0 =]其中 DV,为小块 V,的体积,T=max (V,的直径)1tir巡回前页后页

前页 后页 返回 一、 三重积分的概念 与二重积分相类似, 通过求一个空间立体 V 的质量 M 就可导出三重积分. 设V 的密度函数为 在每一小块 上任取一点 则 为了求 V 的质量, 把 V 分割成 n 小块: 其中 为小块Vi 的体积

设 V i R3 为一可求体积的有界区域,f(x,y,z)是定义在V上的有界函数.现用若干个光滑曲面所组成的曲面网T来分割V，它把V分成 n个小区域：V,V,,K,Vn,用 DV, 记V,(i=1, 2,L ,n)的体积,并记[T|=max(V,的直径)."(x,,h;z,)I V, (i=1,2,L ,n),作积分和na f(x,h,z)DV,.i=1巡回前页后贡

前页 后页 返回 定义在 V 上的有界函数.现用若干个光滑曲面所组 成的曲面网 T 来分割 V，它把 V 分成 n 个小区域: 设 为一可求体积的有界区域, 是

定义1 对 述 V 和f(x,,z),若有一确定的实数 J,对任给的正数 e,总存在某正数d,使得对于 V 的任何分割 T,只要 T<d,属于 T 的所有积分和都满足na f(x,h,z,)DV- J<e,i=-1则称 f(x,,z) 在 V 上可积,并称数J 为f(x,y,z)在V上的三重积分，记作J =mf(x, y,z) dV或f(x,y,z) dxdydz,后页巡回前页

前页 后页 返回 对任给的正数 总存在某正数 使得对于V 的任 何分割 T, 只要 属于T 的所有积分和都满足 则称 在V 上可积, 并称数J 为 在 V 上的三重积分, 记作 定义1 对上述 若有一确定的实数 J

其中 f(x,V,z)称为被积 函数,X,J,Z 称为积 分变量,V称为积分区域当 f(x,y,z)° 1 时,mdV 在 n何上表示 V 的体积,L三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性质,这里不再一一细述.例如：(1）有界闭域V上的连续函数必三重可积;(2) 有界闭域 V 上的有界函数f(x,y,z), 若其向断点邀回前页后页

前页 后页 返回 其中 称为被积函数, x, y, z 称为积分变量, V 称为积分区域. 当 在几何上表示V 的体积. 三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性 质, 这里不再一一细述. 例如: (1) 有界闭域 V 上的连续函数必三重可积; (2) 有界闭域V 上的有界函数 若其间断点

集中在有限个零体积的曲面（可类似于零面积那样定义) 上,则f(x,y,z)在V 上必三重可积.后页返回前页

前页 后页 返回 集中在有限个零体积的曲面 (可类似于零面积那样 定义) 上, 则 在V 上必三重可积

二、化三重积分为累次积分1.积分区域为长方体定理21.155若函数f(x,y,z)在长方体V =[a, b]'[c, d]"[e, f]上的三重积分存在, 且对任何 xI[a,b], 二重积分I(x) = f(x, y,z) dy dzD存在,其中 D =[c, d]'[e, f ], 则积分邀回前页后页

前页 后页 返回 二、化三重积分为累次积分 1. 积分区域为长方体 定理21.15 若函数 在长方体 上的三重积分存在, 且对任何 二重积分 存在, 其中 则积分

O dxof(x,y,z) dy dzD也存在,且f(x, y,z) dy dz =o dxof(x, y,z) dy dz. (1)VD证用平行于生标面的平面网T作分割,它把V分成有限个小长方体Vijk =[xi-, x,I'[yj-1'y, I'[3k-1, zh].设 Mijk, mijk 分别为 f(x,y,z) 在 Vijx上的上、下确界,后贡岚回前页

前页 后页 返回 也存在, 且 证 用平行于坐标面的平面网T 作分割, 它把 分成 有限个小长方体 在 上的上、下确界

"x,1 [x,1,x,],在 D;k=[yj-1,y,l'[2k-z,1上有mijkDy,Dz, f of(x,, J,z)dydz f MijkDy,Dzr.Djk现按下标i,k相加,则有a f(x,, ,z)dydz =of(x,, y,z)dydz = I(x,)j,k DijkD及a mijn Dx,Dy, Dz, t a I(x,)Dx, fa Mij Dx,Dy,Dek.i,j,kii,j,kL L L (2)后页邀回前页

前页 后页 返回 ， 现按下标 相加, 则有 及

上述不等式两边是分割T的上和与下和，由于f在V 上 可积, 当T? 0 时, 下 和 与 上 和 具有相同的极限,所以由(2)式得 I(x) 在[a,b] 上可积, 且 I(x)dx = f(x, y,z)dxdydz.V有时为了计算上的方便，也可采用其他计算顺序2. 积分区域为xy 型区域XV型区域V是指可以用以下方式表示的区域：后贡巡回前页

前页 后页 返回 上述不等式两边是分割 T 的上和与下和, 由于 f 在 V 上可积, 当 时, 下和与上和具有相同的极 限, 所以由(2)式得 在 上可积, 且 有时为了计算上的方便, 也可采用其他计算顺序. 2. 积分区域为 型区域 型区域 是指可以用以下方式表示的区域: