《数学分析》课程教学课件（讲稿）实数

s1 实数数学分析研究的是实数集上定义的函数，因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质。返回后页前页

前页 后页 返回 §1 实数 数学分析研究的是实 数集上定义 的函数, 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质. 返回

一、实数的十进制小数表示二、实数的大小三、实数的四则运算四、实数的阿基米德性五、实数的稠密性六、实数与数轴上的点一一对应七、实数的绝对值与三角形不等式前页后页返回

前页 后页 返回 五、实数的稠密性 六、实数与数轴上的点一一对应 七、实数的绝对值与三角形不等式 三、实数的四则运算 四、实数的阿基米德性 一、实数的十进制小数表示 二、实数的大小 返回

记号与术语N：自然数集（包含0）R：实数集R.：正实数集N.:正整数集V:任意R:负实数集3：存在Q：有理数集Z:整数集后页前页返回

前页 后页 返回 记号与术语 R :实数集 N : ( 0) 自然数集 包含 Z :整数集 Q :有理数集  :存在 R : − 负实数集  :任意 R : + 正实数集 N : + 正整数集

一、实数的十进制小数表示1.任何一个实数都可以用十进制小数表示若xeR.,则x=a.a,a,.a...;xeR,则x=-a.a,a,a.....其中 a, e N, a, =(0, 1, 2, ., 9), n = 1, 2,...2.有限小数x=aaa,.a（其中a±0),又可表示为x =ao.aa,...ak-i(ar -1)99..= ag.a,a,*.-ak-(ax -1)9.后页返回前页

前页 后页 返回 1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 R , . ; + 0 1 2 n x x a a a a  = 则 R , . . 0 1 2 n x x a a a a  = − − 则 N, {0, 1, 2, , 9}, 1, 2, . 其中 a0  an   n =  2. 有限小数 x a0 a1a2 ak = . (  0), 其中ak 又可表示为 x = a0 .a1a2 ak−1 (ak − 1)99 . ( 1)9 . 0 1 2 1 =  −  a a a ak− ak 一、实数的十进制小数表示

若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的即:若x=aaaany = b..b,b,...b.....则 x=ya, =b,,n=0, 1,2,..用无限小数表示实数，称为正规表示3. Q=(x / x=,其中 m,ne Z,n+0)表示有理数集nVxEQ，x可用循环十进制小数表示，如=0.1428577后页返回前页

前页 后页 返回 若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 . , x = a0 a1a2 an  . , y = b0 b1b2 bn  x = y  a = b , n = 0, 1, 2,  . 则 n n 用无限小数表示实数，称为正规表示. 0.142857. 7 1 如 =   x Q, x 可用循环十进制小数表示， 3. Q { | , , Z, 0} m x x m n n n = =   其中 表示有理数集

一般, 若x=m,则x=aoa,a,a,a..akp其中p<n.反之,若x=a.aa..a,ak+ak+px=4+210+10-含10%,504.无理数为无限不循环小数如:元=3.1415926..·;x = 0.1010010001...后页返回前页

前页 后页 返回 , . , x = a0 a1a2 akak+1 ak+ p 反之 若     0 1 1 1 Q. 10 10 1 10 k p k j i i p k j p i j a a x a + + − = = = + +  − 则   , , n m 一般 若x = . , x = a0 a1a2 akak+1 ak+ p 则     其中 p  n. 4. 无理数为无限不循环小数. 如:π = 3.1415926 ; x = 0.1010010001

二、实数的大小定义1 Vx,yeR+，若x = a..a,a, ...a,..., y= b,.b,b, ...b...是正规的十进制小数表示，规定a>ba,>b, 或EneN+,使ao.a,a,...an, = b,.b,b,...bn, 而an+ > bn+1.Vx,yeR_,规定x>y台-x<-y.VxeR+,yER_,规定y<0<x.后页返回前页

前页 后页 返回 二、实数的大小 a b a b n      0 0 + 或 N , 使 . . , . a0 a1a2 an = b0 b1b2 bn 而an+1  bn+1 定义1 +   x y, R , 若 是正规的十进制小数表示, 规定 x y, R , 规定 x  y  −x  − y.   − R , R , + x y    − 规定 y  0  x. 0 1 2 . n y b b b b = 0 1 2 . , n x a a a a =

实数的大小关系有以下性质(1) x> y,x= y,xy, y>z, 则x>z即大小关系具有传递性前页后页返回

前页 后页 返回 (1) , , . x y x y x y  =  实数的大小关系有以下性质: 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立. (2) , , . 若 则 x y y z x z    即大小关系具有传递性

三、实数的四则运算有理数集0对加、减、乘、除（除数不为0）是封闭的.实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）亦是封闭的.实数的四则运算与大小关系，还满足：(I)Vx,yeR,aeR.,若x<y,则ax<y(2) Vx, <x2,Ji < y2, 则 x + yi<x, + y2.后页返回前页

前页 后页 返回 三、实数的四则运算 实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是 有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是 实数的四则运算与大小关系, 还满足: + (1) , R, R , , .      x y x y x y    若 则 (2) , , . 1 2 1 2 1 1 2 2 x  x y  y 则 x + y  x + y 封闭的. 封闭的

四、实数的阿基米德性实数具有阿基米德性：Va,beR.,neN.,使得nb>a.理由如下：设a = ag.aa,...an..., a, = k e N,则a≤k +1a.后页返回前页

前页 后页 返回 四、实数的阿基米德性 实数具有阿基米德性: + +      a b n nb a , R , N , . 使得 理由如下：设 . , N, a = a0 a1a2 an  a0 = k  1 10 . +1  +  k 则 a k 设 b = b0 .b1b2 bn  , bp 为第一个不为零的正整数, 10 , + +1 = p k 令 n 10 . 1 nb a k   则 +