《数学分析》课程教学课件（讲稿）初等函数的连续性

S3初等函数的连续性在学习了连续函数的定义及其一系列基本性质后，现在可以证明一个重要结论：初等函数在其有定义的区间上总是连续的。一、指数函数的连续性二、初等函数的连续性前页返回后页

前页 后页 返回 §3 初等函数的连续性 在学习了连续函数的定义及其一系 一、指数函数的连续性 二、初等函数的连续性 上总是连续的. 要结论：初等函数在其有定义的区间 列基本性质后，现在可以证明一个重 返回

一、指数函数的连续性在第一章中，我们已经定义了指数函数y=a, xeR,a>0,al,并指出它在R内是严格单调的.所以，若能证明指数函数是连续函数，那么它的反函数对数函数在其定义域内也是连续函数首先证明指数函数的一个重要性质前页后页返回

前页 后页 返回 一、指数函数的连续性 在第一章中, 我们已经定义了指数函数 y = a , x  R, a  0, a  1, x 并指出它在 R 内是严格单调的. 所以, 若能证明指 首先证明指数函数的一个重要性质. 定义域内也是连续函数. 数函数是连续函数, 那么它的反函数对数函数在其

定理4.10设 a>0,a±1,α、β为任意实数，则有a"aβ=aa+β.证当α,β是有理数时,这是我们熟知的一个结果先设a>1，由定义，a*=supia"|r为有理数?r0(aα-&, ah>aβ-ε后页返回前页

前页 后页 返回 证 当  , 是有理数时, 这是我们熟知的一个结果. sup{ | }. x r r x a a r  = 为有理数 , , 1 2     a  a − a  a − r r 对于任意 0 ( , ) ,       a   a 存在有理数 , r1   定理4.10 设 a  0, a  1,、  为任意实数, 则有 .   + a a = a 先设 a  1, 由定义， r2   , 使

于是有(aα-)(aβ-)aα+β - &.再取有理数a".ah =a"i+h >a" >aα+β-8,前页后页返回

前页 后页 返回 因为  是任意的, 所以 .   + a  a  a 反之, 存在有理数 r0 (r0   +  ), 使 0 . r a a   +  − 再取有理数 1 2 0 1 2 r r r r r    +   , , , 使 则, 1 2 1 2 0         =   − + + a a a a a a a r r r r r 于是有 ( )( ) .   1 2 1 2     + + a − a −  a a = a  a r r r r

仍因ε是任意的，又得aa.aβ≥aα+β这就证明了aa.aβ =aα+β对于0<a<1的情形，只要令a就有aα .aβ=b(-α).b(-β) =b-(α+β) =aα+β后页返回前页

前页 后页 返回 仍因  是任意的, 又得 .   + a a  a 这就证明了 .   + a  a = a 对于0  a  1的情形 , 只要令 , 1 a b = 就有 .   (− ) (− ) −(+ ) + a  a = b  b = b = a

定理4.11 指数函数y=a(α>0,a1)在R上是连续的.证我们仍旧先假设a>1.首先证明指数函数在x=0 处连续, 即 lima*=1= f(0)x-0这是因为对于任意的正数ε(0<ε<1)，取S = min(log .(1 + ), / log.(1 - ) l),当|x<8时,就有/a*-1<8.所以a在x=0处连续后页返回前页

前页 后页 返回 定理4.11 指数函数 y = a (a  0 ,a  1) x 在 R上是连 证 我们仍旧先假设 a  1 . 首先证明指数函数在 x = 0 处连续, 即 lim 1 (0). 0 a f x x = = → 这是因为对于任意的正数  (0    1) , 取  = min{log (1+  ), | log (1−  )|}, a a 当| | , x   时 | 1| . x 就有 a −   所以 x a 在 x = 0 处连续. 续的

对于一般的点x.ER，由定理4.10得到lim a* = lim a*o .a*-xo = ao lim aAr = a*oAr->0x-xox-xo所以f(x)=a在R上连续对于0<a<1情形，只要设b=!，由=1就可得到相应的结论注当a=1时，y=a=1显然是连续函数后页返回前页

前页 后页 返回 对于一般的点 R, x0  由定理4.10得到 lim lim lim , 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x a = a  a = a a = a   → − → → 所以 x f (x) = a 在 R 上连续. 对于 0  a  1情形 , 只要设 , 1 a b = 由 , 1 1 x x x b b a  =      = 就可得到相应的结论. 注 1 , 1 . x 当a y a = = = 时 显然是连续函数

推论1 对数函数 y=log,x(a>0,a±1)在定义域(0,+80)上是连续的推论2 幂函数 y=x=ealnx 在定义域 (0, +00)上也是连续的例1 设 lim u(x)=a>0,lim v(x)=b. 证明x-xox-xolim u(x)"(x) = ab.x-xo证设u(x)=a,v(x)=b,则u(x),v(x)在点x连续，从而v(x)lnu(x）在点xo也连续，于是证得后页返回前页

前页 后页 返回 也是连续的. 例1 设 lim ( ) 0 , lim ( ) . 0 0 u x a v x b x x x x =  = → → 证明 lim ( ) . ( ) 0 v x b x x u x = a → 推论1 对数函数 log ( 0, 1) a y x a a =   在定义域 (0, + ) 上是连续的. 续, 从而 v(x)lnu(x) 在点 x0 也连续, 于是证得 证 设 ( ) , ( ) , ( ), ( ) u x0 = a v x0 = b 则 u x v x 在点 x0 连 推论2 幂函数 x y x ln e   = = 在定义域 (0, + )上

lim v(x)ln u(x)lim u(x)"(x) = lim e'(x)n u(x)=er→xox→xox-→xo= eblna = ab.注例1的结论可改写为lim v(x)X→X0lim u(x)(x) = a' = lim u(x)X-xox→xo例2 求 lim(cos x)产x→0cos.x-1解 因为 (cosx)产 =(1+cosx-1)cosx-x2令cosx -1u(x)=(1+ cos x-1)cosx-1 , v(x) =后页返回前页

前页 后页 返回 注 例1的结论可改写为 lim ( ) lim ( ) . lim ( ) ( ) 0 0 0 v x x x v x b x x x x u x a u x →     = = → → lim ( )ln ( ) ( ) ( )ln ( ) 0 lim ( ) lim e e 0 0 v x u x v x u x x x v x x x x x u x → = = → → e . blna b = = a 解 因为 1 1 2 2 cos 1 cos 1 (cos ) (1 cos 1) , x x x x x x  − − = + − 令 . cos 1 ( ) (1 cos 1) , ( ) 2 cos 1 1 x x u x x v x x − = + − = − 例2 求 lim(cos ) . 2 1 0 x x x→

元时，cosx-1±0,故当 0<lx/<21lim u(x) = lim(1 + cos x -1)cosx-I = e,x-0x-0X2-2sin3cos.x-112limlim-x2x-→0x-0由此求得cosx-ax2lim(cos x)P = lim(1+ cosx-1)cosx-1x0x→02Te返回前页后页

前页 后页 返回 , 2 1 2 2sin lim cos 1 lim 2 2 0 2 0 = − − = − → → x x x x x x 由此求得 1 2 2 1 0 0 cos cos 1 lim(cos ) lim(1 cos 1) x x x a x x x x x  → → − − = + − lim ( ) lim(1 cos 1) e, cos 1 1 0 0 = + − = − → → x x x u x x 当 故 π 0 | | cos 1 0, 2   −  x x 时， 1 2 1 e . e − = =