《数学分析》课程教学课件（讲稿）参变量函数的导数

S3参变量函数的导数平面曲线通常用方程y= f(x) 或 F(x,y)=0来表示；一般情形下则采用参数方程x=x(t), y= y(t), tI I.这样做最明显的好处，是能方便地推广为多维空间的情形，例如R3中的曲线：x=x(t), y= y(t), z=z(t), ti I.巡回后页前页

前页 后页 返回 §3 参变量函数的导数 平面曲线通常用方程 为多维空间的情形, 例如 中的曲线: 这样做最明显的好处, 是能方便地推广 来表示; 一般情形下则采用参数方程 或 返回

设平面曲线C的参数方程头ix=j (t),(1)aftfb.iy=y (t),如果函数x=j (t)有反函数 t=j-(x),则 (1)式确定复合函数 y- ( (x)-T(t)。 由此说明平面曲线两种方程之间的联系这种由参数方程（1）所表示的函数，称为参变量函数，如果i (t)y(t)都可导，且j αt)!0,根据复合后页巡回前页

前页 后页 返回 设平面曲线 C 的参数方程为 平面曲线两种方程之间的联系. 如果函数 有反函数 则 (1) 式 可 由此说明 数. 根据复合 这种由参数方程 (1) 所表示的函数, 称为参变量函

函数和反函数的求导法则，得到dy dydt dy/dxy t)(2)dx dt dx dt/ dt j dt)(2)式的几何意义如下：设由（1)式表示的曲线福在点 P(i (to),y (to)处有切线。过点 P及邻近点Q(i(t,+△t),y(t,+△t))的割线 PQ 的斜率为Ay -y (to +At)-y (to)Axj (to +At)-j (to)后页邀回前页

前页 后页 返回 函数和反函数的求导法则, 得 到 (2) 式的几何意义如下: 设由 (1) 式表示的曲线 C 的割线 的斜率为 处有切线. 过点 及邻近 点

如果i（t),y(t)在点 t可导，idt.）0，则切线的斜率为by (to + △t)- y (to)l /AtAVlimlimtana = At? oAx Dt? o li (t +At)- j (to)l △t_y dt)jdto)其中a是切线与x轴正向的夹角（见下页图）当ydt）！0时，有cota _j dt)y dto)巡回前页后页

前页 后页 返回 如果 可导， 则切线 有 的斜率为 其中 是切线与 x 轴正向的夹角 ( 见下页图 )

VSA1PAxCx若i，y在[α,b]上都存在连续导数,且i e(t)+y t(t)+ 0则称曲线C为光滑曲线.光滑曲线的每一点都存在巡回后页前页

前页 后页 返回 则称曲线 C 为光滑曲线. 光滑曲线的每一点都存 在 上都存在连续导数,且

切线，且切线与x轴正向的夹角α(t)是t的连续函数.例1求由参数方程ix=acost,ti (0, 元)iy=bsint,（这是上半椭圆方程）所确定的函数=f(x)的导数，并求此椭圆在t=元/4处的切线方程解由公式（2）得到巡回后页前页

前页 后页 返回 例1 求由参数方程 切线, 且切线与 x 轴正向的夹角 函 数. 解 由公式 (2) 得到 ( 这是上半椭圆方程 ) 所确定的函数 的 导数, 并求此椭圆在 处的切线方程

dy dy / dx (bsint)e bdyh一-cott,dx dt / dt (acost)e0dxit=a故所求切线为2b206V22a例2 若曲线 c由极坐标方程 r=r(q）给出,以把它转化成以极角为参数的参数方程i x = r (q )cosqi y=r (q)sinq巡回前页后页

前页 后页 返回 故所求切线为 : 例2 若曲线 由极坐标方程 r￾=￾r￾(q￾) 给出, 可以把它转化成以极角 则 q￾为参数的参数方程

dxdydx 0, 则存在,如果且dq'dqdqdy(r (q)sinq )er dq)sinq + r (q )cosqdx(r (g)cosq)er dq )cosq - r (q)sinqr dq )tanq +r (q)(3)r dq)- r (q)tanq(3）式表示的是曲线 r=r(g)HbMA在点M(r，）处的切aax0线MT与极轴 Ox的后页巡回前页

前页 后页 返回 则 (3) 式表示的是曲 线 线 MT 与极轴 Ox 的 的切

夹角?的正切 tana.过 M的射线OH（即点M的向径）与切线MT的夹角b的正切是tana - tanq(4)tanb =tan(a -q)=1 + tana tanq将（3)式代入（4)式，化简后可得tanb =r(g)(5)rdq)例3 证明对数螺线 r =el/2上所有点处的切线与向径的夹角b是常数后页巡回前页

前页 后页 返回 向径 ) 与切线 MT 的夹角 b￾￾的正切是 将 (3) 式代入 (4) 式, 化简后可 得 夹角 ￾ 过 M 的射线 OH ( 即点M的 径的夹角 b￾是常数. 例3 证明对数螺线 上所有点处的切线与向

证因为对每一q值Htanb =r (q)2e9三br dq)Me9/2e9/22a0-x=2,所以这条曲线上任一点的切线与向径的夹角等于常数arctan2.巡回后页前页

前页 后页 返回 证 所以这条曲线上任一点的切线与向径的夹角等于