《数学分析》课程教学课件（讲稿）高阶导数

84高阶导数当我们研究导函数的变化率时就产生了高阶导数.如物体运动规律为S=s(t)，它的运动速度是V=St),而速度在时刻t的变化率就是物体在时刻t的加速度a(t) =vt)= st)返回后页前页

前页 后页 返回 §4 高阶导数 当我们研究导函数的变化率时就产生 了高阶导数.如物体运动规律为 , 它的运动速度是 , 而速度在时刻 的变化率就是物体在时刻 的加速度 返回

定义 4 如果 f(x)的导函数 fdx)在点 x可导则称fx）在点x,的导数为函数f(x）在点x的二阶导数，记作fx）.此时也称f(x）在点x二阶可导如果f(x)在区间I上每一点都二阶可导，则得到个定义在 I 上的二阶导函数，记作f数x),xI 1.仿照上述定义，可以用f的n-1阶导函数定义f的n阶导数.二阶及二阶以上导数称为高阶导数后页返回前页

前页 后页 返回 二阶可导. 如果 f (x) 在区间 I 上每一点都二阶可导, 则得 到 仿照上述定义, 可以用 f 的 n –1 阶导函数定义 f 定义 4 如果 的导函数 在点 可导, 的 n 阶导数. 二阶及二阶以上导数称为高阶导数. 一个定义在 I 上的二阶导函数

函数f在点x.处的n阶导数记作d"yd"f(x)dr"X=X0X=X0n阶导函数记作d"("(x)(或 "), y(m, d"yf(x).dr"'drnd"y("y，意即对y进行了n次这里也可写作d1dx"d"（看作一个算符）求导运算dxr巡回前页后页

前页 后页 返回 n 阶导函数记作 意即对 y 进行了n 次 ( 看作一个算符 )

例1求下列函数的各阶导数：(1)y=x"(n为正整数）;(2) y=e*;(4) y = Inx.(3) y= sinx, y=cosx;解 (1) ye= nxn-1, y= n(n - 1)x"-2,L ,y(m) = n!, y(m) = 0 (m >n).(2) ye=e, y=et, 对-切ni N+,(e")(m) =er(3)对 y=sinx,有元ye= cosx = sin( x +2后页巡回前页

前页 后页 返回 例1 求下列函数的各阶导数: 解

元y$= cos (x +=)=sin (x + 2×),L 22元y(m) = sin(x+ n x)), ni N+2同理 (cosx)m)=cos(x+nx), ni N..21 ×2(4) yc= , yx=e2.9ty(n) _ (-1)" (n- 1)!"高阶导数运算法则（可用数学归纳法验证）巡回前页后页

前页 后页 返回 同理 高阶导数运算法则 ( 可用数学归纳法验证 ) ：

加法 (u±v)(m) =u(n) +μ(n)(1)乘法 (uv)(m) = u(m),(0) +C,u(n-1),(1) +L +Ch,u(n-k),(k) +L + u(0),(m) = a Chu(n-h),(h), (2)k-0其中 u(0)=u, v(0)=v.公式（2）称为莱布尼茨公式莱布尼茨（Leibniz,G.W.1646-1716,德国回后页前页

前页 后页 返回 公式 (2) 称为莱布尼茨公式. 加法 乘法 莱布尼茨( Leibniz,G.W. 1646-1716, 德国 )

例2求y=ecosx的三阶导数心解- yc=e'cosx- e' sin x =e' cosx+e' cos(x+-2元-2y$=e"cosx+e" cos(x++e*cos(x+)+e.cos(x+2)22元1)+.cos(x+2*)=ecos x + 2e cos(x +22元一J-e.cosx+e*cos(+)+2e'cos(++222e*co(x+2g)+0*cos(x+2g)+0cos(+30)222后页巡回前页

前页 后页 返回 例2 解一

元一= e* cos x +3e* cos(x ++23e*cos(x+2x)T+e" cos(x +3x22解二直接用莱布尼茨公式（5)求出y解三 ye=c'cosx-c'sinx=e*V2cos(x+);yx= 2e* cos(x+2 x));ym=2V2e*cos(x+3x)巡回后页前页

前页 后页 返回 解二 解三

1 x. x3 0的高阶例3 讨论分段函数 f(x)=-x2, x0时，fdx)=2x, f数x)=2, f(n(x)° 0 (n3 3);当x<0时，fdx)=-2x, fdx)=-2, f(n(x)° 0 (n3 3);后页巡回前页

前页 后页 返回 解 分段函数要分段讨论: 例3 讨论分段函数 的高阶 当 x > 0时, 导数

当x=0时,用左、右导数定义可得fd0)= f0)= f0)=0,由于 f(0)=2,f岁(0)=-2,因此在x=0 处 f或0)不存在.故当 n3 2 时，f(n)(0)不存在.从而i 2x, x>0,i 2,x>0,Efdx)=i 0, x=0, fx)=i不存在, x=0,1 - 2,1-2x, x<0;x<0;2当 n3 3 时，f(n)(x)=0 (x1 0),f(n)(0)不存在后页巡回前页

前页 后页 返回 由于 因此在 x = 0 处 不存在