《数学分析》课程教学课件（讲稿）可积性理论补叙

＊36可积性理论补叙本节首先证明达布定理，然后用达布定理证明函数可积的第一、第二、第三充要条件，其中第二充要条件即为第三节中介绍的可积准则上和与下和的性质可积的充要条件前页后页返回

前页 后页 返回 *§6 可积性理论补叙 一、 上和与下和的性质 本节首先证明达布定理, 然后用达 布定理证明函数可积的第一、第二、 第三充要条件, 其中第二充要条件即 为第三节中介绍的可积准则. 二、 可积的充要条件 返回

一、上和与下和的性质由 s 2,若 f 在[a, b]上有界,则对[a,b]的分割T:a=x,<x,<...<x,=b,有相应的上和与下和：S(T)-M,Ax, s(T)=-m,Ar,i-1i=1其中M, = sup(f(x)/ xe[x,-1,x,ll,i=1,2,..",n,m, = inf(f(x) / x e[x,-1,x,ll,i = 1,2,...,n后页返回前页

前页 后页 返回 一、上和与下和的性质 0 1 : , T a x x x b =    = n 有相应的上和与下和: 1 sup{ ( ) | [ , ]}, 1,2, , , i i i M =  = f x x x x i − n 1 ( ) Δ , n i i i S T M x = =  1 ( ) Δ , n i i i s T m x = =  1 inf{ ( ) | [ , ]}, 1,2, , . i i i m =  = f x x x x i − n 由§2, 若 在 上有界 则对 的分割 f a, b a b [ ] , [ , ] 其中

S(T)-s(T)-(M,-m,)Ax, -Zo,Ax,i-1i=1其中w, = M, -m;=sup(1f(x)- f(x")1/ x',x"e[xi-,x,1),是f在[xi-,xl上的振幅返回前页后页

前页 后页 返回 i i i = − M m 1 [ ] . i- i 是 在 上的振幅 f x , x = −  sup | ( ) ( ) | , [ , ] ,  f x f x x x x x     i i −1  ( ) ( ) ( ) , 1 1   = = − = − = n i n i T Mi mi xi i xi S T s    其中

y上和的几何意义：y= f(x)曲边梯形“外接”矩番积之和。0abxJ下和的几何意义：y= f(x)曲边梯形“内接”矩番积之和0bax返回前页后页

前页 后页 返回 上和的几何意义: 曲边梯形“外接”矩 形 下和的几何意义: 曲边梯形“内接”矩 形 面积之和. 面积之和. x y O a b y f x = ( ) x y O y f x = ( ) a b

性质1 对固定分割 T :a=x<x,<...<x,=b, 有Z f(5,)Ax,5, e[x-1,x,1,i =1,2,,nS(T)=sup<i1[2 (5,)4x, 5 [(x, - ,,ns(T)=inf)Ai=-1证 V5, e[x,-1,x,l, f(5,)≤M,,i =1,2,..",n,Zf(5,)Ax,=EM,Ax, = S(T),il=1Z(5,)4x, 5; e[xi-1x,], i-1,.,n即 S(T)是i-1后页返回前页

前页 后页 返回 1 1 ( ) sup ( )Δ [ , ], 1,2, , , n i i i i i i S T f x x x i n   − =   =  =      1 1 ( ) inf ( )Δ [ , ], 1,2, , . n i i i i i i s T f x x x i n   − =   =  =      1 1 ( )Δ Δ ( ), n n i i i i i i f x M x S T  = =   =1 1 ( ) ( )Δ [ , ], 1,2, , n i i i i i i 即 S T f x x x i n 是   − =      =    0 1 : , 性质1 对固定分割 有 T a x x x b =    =n [ , ], ( ) , 1,2, , , 证  i  xi−1 xi f  i  Mi i =  n

的一个上界V>0, 由于 M,=sup(f(x)| x e[xi-1,x;]), 因此35, e[x,-1,x,l, 使8f(5.) > M, b-a于是Ef(5,)Ax,>E(M,---)Ar,h0i=1i-1"iZAx, = S(T)-8.M,Ar;b-ai2后页返回前页

前页 后页 返回   =   0, sup ( ) [ , ] , 由于 因此 M f x x x x i i i  −1  1 [ , ], i i i  x x   − 使 于是  = = −  − n i i i n i i i x b a f x M 1 1 ( ) ( )     = − = = − n i i n i i i x b a M x 1 1    = S(T) − . ( ) . i i f M b a    − − 的一个上界

所以证得Zf(5)Ax, 5, e[x-,x,,i -1,2,,nS(T) =supi-1类似可证：Ef(5,)Ax,5, e[xi-x,,i=-1,2,.,ns(T) =infi=1返回前页后页

前页 后页 返回 类似可证 : 所以证得 1 1 ( ) sup ( )Δ [ , ], 1,2, , . n i i i i i i S T f x x x i n   − =   =  =      1 1 ( ) inf ( )Δ [ , ], 1,2, , . n i i i i i i s T f x x x i n   − =   =  =     

性质2设T为分割T添加p个新分点后所得到的分割,则S(T)≥S(T) ≥S(T)-(M -m)p IT Ils(T)≤s(T)≤s(T)+(M-m)p / T Il证为方便起见，记T=T，T为添加i个新分点后所得到的分割,T'=T,设T中新加入的那个分点落在T的某小区间△，内，它把△，分为两小区间，记为,与".此时后页返回前页

前页 后页 返回 S T S T S T M m p T ( ) ( ) ( ) ( ) || ||,   − −  s T s T s T M m p T ( ) ( ) ( ) ( ) || || .   + −  设 T T 1 中新加入的那个分点落在 的某小区间Δk , Δ , Δ Δ . 内 它把 k k k 分为两小区间 记为   与 此时 的分割 则, , . 所得到的分割 T' T= p 性质2 设 为分割 添加 个新分点后所得到 T' T p 0 , , 证 为方便起见 记 为添加 个新分点后 T T T i = i

S(T.)-S(T))Zm,Ax, -(Em,Ax, +M,Ar, + M(Ar)i-1i+k= M (Ark + Ar') -(M'Ax' + M'Ark)=(Mk - M')Ar' +(Mk- Mi)Ar"由于m≤M(或M)≤M≤M,故有0 ≤S(T) - S(T)≤(M - m)Ax, ≤(M -m)II T Il 后页返回前页

前页 后页 返回 0 1 S T S T ( ) ( ) − 1 Δ ( Δ Δ Δ ) n i i i i k k k k i i k M x M x M x M x =  = − + +       (Δ Δ ) ( Δ Δ ) M x x M x M x k k k k k k k = + − +       ( )Δ ( )Δ . M M x M M x k k k k k k = − + −     由于 ( ) , m M M M M k k k      或 故有 0 1 0 ( ) ( ) ( )Δ ( ) || || .  −  −  − S T S T M m x M m T k

同理有0 <≤S(T)- S(T+)≤(M -m) II T Il 因此证得Z(S(T,)-S(T.)]0 ≤S(T) -S(T,)-7i=0≤(M-m)Zill,I(M-m)plI l.i-0类似可证s(T)≤s(T)≤s(T)+(M -m)p T I 前页后页返回

前页 后页 返回 同理有 1 0 ( ) ( ) ( ) || || .  −  − S T S T M m T i i i + 因此证得 0 0 ( ) ( )  − S T S Tp 1 1 0 [ ( ) ( )] p i i i S T S T − + = = −  1 0 ( ) || || p i i M m T − =  −   − ( ) || || . M m p T 类似可证 s T s T s T M m p T ( ) ( ) ( ) ( ) || || .   + − 