《数学分析》课程教学课件（讲稿）旋转曲面的面积

S4 旋转曲面的面积安“分定积分的所有应用问题，都可按割、近似、求极限”三个步骤导出所求量的积分形式，但在实际应用中又常用“微元法”来处理.本节将介绍微元法，并用以导出旋转曲面面积的计算公式一、微元法二、旋转曲面的面积前页后页返回

前页 后页 返回 §4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题, 都可按 “分 一、微元法 二、旋转曲面的面积 用以导出旋转曲面面积的计算公式. “微元法”来处理. 本节将介绍微元法,并 量的积分形式, 但在实际应用中又常用 割、近似、求极限” 三个步骤导出所求 返回

一、微元法当f为[a,bl上的连续函数时，若令(x)= , f(t)dt ,则 @'(x)= f(x),或 d@= f(x)dx, 且d(a) =0, d(b)=f, f(x)dx.现在恰好要把问题倒过来：若所求量Φ是分布在区间[a,xl上的(a≤x≤b),或者说它是该区间的端点x的函数,即后页返回前页

前页 后页 返回 ( ) ( )d , x a  x f t t =  则   ( ) ( ) , d ( )d x f x f x x = = 或 , 且 ( ) 0 , ( ) ( )d . b a   a b f x x = =  当 f 为[a,b] 上的连续函数时，若令 一、微元法 现在恰好要把问题倒过来: 若所求量  是分布在区 间[ , ] ( ), a x a x b 上的   或者说它是该区间的端点 x 的函数, 即

@ =Φ(x), x e[a,b],而且当x=b时，Φ(b)适为最终所求的值在任意小区间 [x,x+Ax]c[a,b]上,若能把Φ 的微小增量△Φ近似表示为△x的线性形式A@ ~ f(x)Ax,其中f为某一连续函数,而且当△r→0时△Φ - f (x)Ax = o(Ax),[f(x)dx 计算出来,就是该问题所那么只要把后页返回前页

前页 后页 返回 Δ  f x x ( )Δ , 其中 f 为某一连续函数, 而且当 x → 0 时, Δ − = f x x o x ( )Δ (Δ ), 而且当 x = b 时,  (b) 适为最终所求的值. 那么只要把 ( )d b a f x x  计算出来, 就是该问题所  =(x), x [a,b], 在任意小区间 [ , x x x a b +  Δ ] [ , ] 上, 若能把  的 微小增量 Δ 近似表示为 Δx 的线性形式

求的结果以上方法通常称为微元法，在用微元法时，应注意(1）所求量Φ关于分布区间必须是可加的(2）微元法的关键是正确给出△@的近似表达式A@= f(x)Ax在一般情况下，要严格检验A@-f(x)Ar为4x的高阶无穷小量不是一件容易的事后页返回前页

前页 后页 返回 Δ  f x x ( )Δ . 在一般情况下, 要严格检验 Δ − f x x ( )Δ 以上方法通常称为微元法, 在用微元法时, 应注意: 求的结果. (2) 微元法的关键是正确给出 Δ 的近似表达式 为 x 的高阶无穷小量不是一件容易的事. (1) 所求量  关于分布区间必须是可加的

旋转曲面的面积二、设平面光滑曲线C的方程为y = f(x),xe[a,bl(f(x)≥0),这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面（如下图)Vy=f(x)+xRx通过x轴上点x与x+△x分别作垂直于x轴的平后页返回前页

前页 后页 返回 y = f (x) , x [a,b]( f (x)  0), 这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面(如下图). 设平面光滑曲线 C 的方程为 二、 旋转曲面的面积 O a b x y x x x + y f x = ( ) 通过 x 轴上点 x 与 x x + Δ 分别作垂直于 x 轴的平

面，它们在旋转曲面上截下一条狭带.当Ax很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即AS ~πlf(x)+ f(x + Ar)IAr? +Ay=m[2f(x)+ 4y1/1+() 4x,A1其中 Ay= f(x +△x)- f(x). 由于limAy=0, lim 1+(y) = /1 + f"(x),Ar-→0A-后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 ΔS f x f x x x y  + + + π[ ( ) ( Δ )] Δ Δ 2 [2 ( ) ] 1 ( ) , y f x y x x      = + + 其中 Δy f x x f x = + − ( Δ ) ( ). 由于 2 2 0 0 lim 0, lim 1 ( ) 1 ( ), x x y y f x  →  → x   = + = +   时, 此狭带的面积近似于一圆台的侧面积, 即 面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带. 当 Δx 很小

因此由f'(x)的连续性可以保证[2()+1)/ ()Ax-2元 f(x)/1 + f"(x)Ar= o(△x),所以得到dS = 2元f(x)/1 + f" (x)dx,S = 2元[" f(x)/1 + f"(x)dx.如果光滑曲线由参数方程返回前页后页

前页 后页 返回 因此由 f (x) 的连续性可以保证   2 Δ 2 π 2 ( ) Δ 1 Δ 2π ( ) 1 ( )Δ Δ y f x y x f x f x x x   + + − +      = o x (Δ ), 所以得到 2 d 2 S f x f x x = + π ( ) 1 ( )d ,  2 2π ( ) 1 ( )d . b a S f x f x x = +   如果光滑曲线由参数方程

x = x(t), y= y(t),t e[α,β]给出,且 y(t)≥0，则曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为S = 2元 [" y(t))x"(0) + y"(t)dt.大J2例1 求将椭圆1(a>b)绕x轴旋转所得b2椭球面的面积解将上半椭圆写成参数方程后页返回前页

前页 后页 返回 x = x(t), y = y(t), t [, ] 给出, 且 y(t)  0, 则曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转 曲面的面积为 2 2 S y t x t y t t 2 ( ) ( ) ( )d .   = +     例1 求将椭圆 1 ( ) 2 2 2 2 a b b y a x + =  绕 x 轴旋转所得 椭球面的面积. 解 将上半椭圆写成参数方程

x=acost,y=bsint, 0<t≤元.令c2=a2-b,e=,则S=2元["bsintVa"sin't+b'cos'tdt=4元b/2sintya?-(a-b")costdt--4b/2Ja-c*cos*td(cost)=4nabf'V1-e'u'du后页返回前页

前页 后页 返回 x a t y b t t = =   cos , sin , 0 π. 令 2 2 2 , , c c a b e a = − = 则 π 2 2 2 2 0 S b t a t b t t = + 2π sin sin cos d  π 2 2 2 2 2 0 = − − 4πb t a a b t t sin ( )cos d  π 2 2 2 2 0 = − − 4πb a c t t cos d(cos )  1 2 2 0 = − 4πab e u u 1 d 

-e'u?= 4元abarcsineuuv22eb0= 2元ab+-arcsinaaCa?-ba= 2元b/ b +arcsinVa?-b?特别当a=b时，即半径为a的球面的面积：S = 4元a [2 sin tdt = 4元a cost l°, = 4元a2.后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 1 1 1 4π 1 arcsin 2 2 0 ab u e u eu e   = − +     2π arcsin b a c ab a c a   = +     2 2 2 2 2 2π arcsin . a a b b b a b a   − = +       − 特别当a b a = 时,即半径为 的球面的面积: π 0 2 2 2 2 0 π/ 2 S a t t a t a = = = 4π sin d 4π cos 4π . 