《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章 定积分的应用_6-1 定积分的元素法

第六章第一节定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决？二、如何应用定积分解决问题？

第一节 定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第六章

定积分的元素法通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步骤

通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直 线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替 、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值 ，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积 分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工 具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢 ？我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步骤。 定积分的元素法

一、什么问题可以用定积分解决？设f(x)在区间[a,b]上连续且f(x)≥0,以曲线y=f(x)为曲边、底为[a,b的曲边梯形的面积AVy=f(x)A= f° f(x)dx曲边梯形的面积解决步骤：(1)分割：将[a,b]任意分成长度为oaxixi-ixibx△xi=1,2,，m的n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，其面积为△A(i=1,2,,n）所求量对[a,b]A=ZM,具有可加性

设 f x a b f x ( ) [ , ] ( ) 0, 在 区 间 上 连 续 且  以曲线y f x  ( )为 曲 边 、 底 为[ , ] . a b A 的 曲 边 梯 形 的 面 积 ( )d b a A f x x   一、什么问题可以用定积分解决 ? 曲边梯形的面积解决步骤 : (1) 分割：将[ , ] a b 任 意 分 成 长 度 为 ( 1, 2, , ) i   x i n n 的 个 小 区 间 ，相 应 地 把 曲 边 梯 形 ( 1, 2, , ). i 分 成 n A i n 个 窄 曲 边 梯 形 ， 其 面 积 为   1 n i i A A     1 x i x i1 a x y O [ , ] . 所求量对 a b 具有可加性

（2）计算△A的近似值AA = f(E)Ax,(xi-≤E,≤x= AA, = f(E)Ax, +o(△x)(3)求和y= f(x)A ~Zf(5)Ax;i=1(4)求极限1Olaxixi-ixibxZ(E)Ax,= [" f(x)dx.A=lim1-0i=1分析：1)所求量(如面积A)对[α,b]具有可加性。2)部分量AA (E)Ax,且△A,-f(E)Ax,=0(△x)

(2) 计 算 Ai 的 近 似 值 1 x i x i1 a x y O 1 ( ) ( ) A f x x x i i i i i i         (3) 求和 1 ( ) ; n i i i A f x      (4) 求极限 0 1 = lim ( ) n i i i A f x       ( )d . b a  f x x   ( ) ( ) A f x o x i i i i       分析： 1) 所求量(如面积A) 对[a , b]具有可加性。 2) ( ) A f x i i i 部分量     ， ( ) ( ). A f x o x i i i i 且     

探讨：曲边梯形的面积A=f(x)dx首先将区间[a,b份成n个小区间，取其中任一小区间并记作[xx+dxl，用△A表示其面积y=f(x)A=ZM用取[x，x+dx的左端点x为，以点xdA处的函数值f(x）为高、dx为底的矩形xx+dxbx福的面积f(x)dx为△A的近似值，即SAA~f(x)dx我们把上式右端f（x）dx叫做面积元素，记为dA，即dA=f(x)dx = A=[~ f(x)dx

探讨：曲边梯形的面积A ( )d . b a  f x x  首先将区间[ , ] a b n 分成 个小区间，取其中任一小区间并 记作 [ , d ] x x x  , a y O x x x  d A 用A表示其面积. 用取[ , d ] x x x x  的左端点 为，以点x 处的函数值f x x ( ) d 为高、 为底的矩形 的面积f x x A ( )d 为 的近似值，即    A f x x ( )d A A    我们把上式右端f x x A ( )d 叫做面积元素，记为d ，即 dA f x x = ( )d = ( )d b a  A f x x  dA

二、如何应用定积分解决问题？一般地，如果某一实际问题中所求量U符合下列条件(1）U是与一个变量（如x）的变化区间[ab]有关的量，2）U对于区间[a，b具有可加性，即U=ZAU.(3) AU, = f(5)Ax, 且△U, - f(5)Ax, = 0(△x,)那么就可以考虑用一个定积分表示这个量U

二 、如何应用定积分解决问题 ? 一般地，如果某一实际问题中所求量U 符合下列条件： (1) [ , ] U x a b 是与一个变量(如 )的变化区间 有关的量. ( )2 [ , ] U a b 对于区间 具有可加性，即 U U = .  3 ( ) U f x i i i ( )     ( ) ( ). U f x o x i i i i 且      那么就可以考虑用一个定积分表示这个量U

这个量U可用定积分表示的步骤：1）选取一个变量（如x）为积分变量，并确定它的变化区间[a,b],(2）将区间[a,b份成n个小区间，取其中任一小区间[x,x+dx]这个小区间的部分量△U的近似值总可以表示为在x处的函数值f(x）与dx的乘积，就把f(x）dx称为量U的元素，记作dU，即dU=f(x)dx(3) U = f° f(x)dx

这个量U 可用定积分表示的步骤： (1) 选取一个变量(如x)为积分变量，并确定它的变化 ( )2 [ , ] 将区间 a b n 分成 个小区间，取其中任一小区间 区间[ , ] a b . [ , d ] x x x  ,这个小区间的部分量U的近似值总可以 表示为在x f x x 处的函数值 ( ) d 与 的乘积，就把f x x ( )d 称为量U U 的元素，记作d , 即 d = ( )d . U f x x 3 ( )d . b a U f x x   ( )