《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章 定积分_5-4 反常积分

第五章第四节反常积分积分限有限常义积分被积函数有界推广反常积分（广义积分）一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分

二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分 第五章

一、无穷限的反常积分引例.曲线=和直线x=1及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作A=J"其含义可理解为bdx号= lim A= limh-→+ob-→+00= limb-→+o0

2 1 x y  A 1 x y O 一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作    1 2 d x x A 其含义可理解为     b b x x A 1 2 d lim b b b x 1 1 lim                   b  b 1 lim 1  1

定义l.设f(x)EC[a,+oo),取b>α,若rblim f(x)dxb-+oa存在，则称此极限为f(x）的无穷限反常积分，记作[+ f(x)dx=, lim f°f(x)dxb+8Ja这时称反常积分f(x）dx收敛；如果上述极限不存在C就称反常积分(+0f(x)dx发散类似地,若 f(x)eC(-,b]，则定义" f(x)dx = lim J"f(x)dxa-8a

定义1. 设 f ( x)  C [a ,  ), 取 b  a , 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f ( x)  C (  , b], 则定义

若 f(x)EC(-80,+),则定义- f(x)dx = lim f°f(x)dx+ lim1of(x)dxa--Jab-→+ooJc（c为任意取定的常数）只要有一个极限不存在，就称+f(x)dx发散无穷限的反常积分也称为第一类反常积分说明：上述定义中若出现80-0，并非不定型它表明该反常积分发散：

若 f ( x)  C (  ,  ), 则定义 f x x c a a lim ( ) d    f x x b b c lim ( ) d     ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 说明: 上述定义中若出现    , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散

若F(x）是f(x）的原函数，引入记号F(+o)= lim F(x); F(-o0)= lim F(x)X→+0X→-00则有类似牛一莱公式的计算表达式+8= F(+)- F(a)+~ f(x)dx= F(x)ab["m (x)dx = F(x)= F(b)- F(-00)18+8[-~ f(x)dx = F(x)= F(+8)- F(-0)-8

引入记号 F ( ) lim F (x) ; x     F ( ) lim F (x) x     则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( ) d    F (x)  F ( )  F (a) f x x b ( ) d   F (x)  F (b)  F ( ) f (x) dx     F (x)  F ( )  F ( )

dx+8例1.计算反常积分81+x2dx+8+8解：[arctanx]01++ooxdxX0对吗?思考：-001+x+8+oxdx分析：原积分发散！81+x08注意：对反常积分，只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质否则会出现错误

例1. 计算反常积分 解:    [ arctan x ] ) 2 π  ( 2 π   π x y 2 1 1 x y   O 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质否则会出现错误 ,

+dx当p>1 时收敛；p≤l例2.证明第一类p积分时发散证：当p=1时有Sa dx - [1nx11--8=+8当p1时有p1n-因此，当p>1时，反常积分收敛，其值为p-]当p≤1时，反常积分发散

例2. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有     a ln x            a p p x 1 1 当 p ≠ 1 时有 p  1 , p  1 1 1   p a p 当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 .   , 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 ; 1 1   p a p 当 p≤1 时, 反常积分发散

te-ptdt(p>0)例3.计算反常积分解： 原式=-二e-)e-ptdtp+8pt0

例3. 计算反常积分 解: p t p t  原式   e     0 e d 1 t p p t p t p    e 1 2 2 1 p 

二、无界函数的反常积分与x轴,轴和直线x=1所围成的引例：曲线=开口曲边梯形的面积可记作ldxV其含义可理解为Adx= lim 2/xA= limJxt→0+t→o+J= lim 2(1- /) = 210

二、无界函数的反常积分 引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 1 0 d lim t t x A x     0 1 lim 2 t x t    0 lim 2(1 ) t t      2 x y 1  A x y O t

定义2.设 f(x)C(a,bl,而在点α的右邻域内无界艮lim（f(x)dx存在，则称此极限为函若极限t2o数f(x)在[α，b]上的反常积分，记作f f(x)dx= lim f"f(x)dx这时称反常积分f(x)dx收敛；如果上述极限不存在就称反常积分1~ f(x)dx发散类似地，若f(x)eC[a,b)，而在b的左邻域内无界则定义[ f(x)dx = limf"f(x)dxt-b

定义2. 设 f ( x)  C (a , b], 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f ( x)  C [a , b), 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 则定义 则称此极限为函 记作