《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-1 微分方程的基本概念

第七章第一节微分方程的基本概念几何问题引例物理问题微分方程的基本概念

微分方程的基本概念 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第七章

引例1.一曲线通过点（1,2），在该曲线上任意点处的切线斜率为2x，求该曲线的方程解：设所求曲线方程为y=y(x），则有如下关系式dy1=2xdxy|x=1= 2由①得 =「2xdx=x2+C(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为y=x2+1

引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: x x y 2 d d  ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 1. 2 因此所求曲线方程为 y  x  2 y x1 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程

制动时引例2.列车在平直路上以20m/s的速度行驶，获得加速度α=-0.4m/s2，求制动后列车的运动规律解：设列车在制动后t秒行驶了s米，即求s=s（t)d-s=-0.4dt2已知dsdi|t=0=20=0s=- 0.2t? +C,t+C2由前一式两次积分，可得利用后两式可得Ci = 20, C2 = 0S=-0.2t2 +20 t因此所求运动规律为说明：利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住，以及制动后行驶了多少路程

引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 0 , s t0  由前一式两次积分, 可得 1 2 2 s   0.2 t  C t  C 利用后两式可得 因此所求运动规律为 s 0.2 t 20 t 2    说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 制动时

微分方程的基本概念含未知函数及其导数的方程叫做微分方程常微分方程（本章内容）分类偏微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.如般地，n阶常微分方程的形式是(））=阶微分方程或（7x6dx寸dy0m-1阶微矫虚程式微分方程）3阶微分方程xy"+2y"+x"y=0;

常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) 微分方程的基本概念 的阶. 分类 如: 1阶微分方程 1阶微分方程 3阶微分方程 ( , , , , ) 0 ( )   n F x y y  y ( , , , , ) ( ) ( 1)   n n y f x y y  y ( n 阶显式微分方程) 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 或

微分方程的解一使方程成为恒等式的函数通解一解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同特解一不含任意常数的解，其图形称为积分曲线定解条件一确定通解中任意常数的条件。n阶方程的初始条件（或初值条件）(n-1)J(xo) = yo , y'(xo) = yo, *, j(n-I)(xo) = yodsdy=2x=-0.4dxd2引例1引例2Sl=0 =0,l=0 =20Cx=1= 2Vs = -0.2t? +Ct +C2y=x? +C通解：特解：y=x?+1S=-0.2t2 +20t

0 , s t0  — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( )        n n y x y y x y  y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 2 y x1 20 d 0 d  t t 引例 s 2 0.4 2 2 d d   t s x x y 2 d d  引例1 y  x  C 2 1 2 2 通解: s  0.2t  C t  C s 0.2t 20 t 2 1    2 特解: y  x  微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线

例1. 验证函数 x=C, cos kt + C2 sin kt (Ci,C,为常数）d?x+k2x=0的通解,并求满足初始条件是微分方程dt2dx|t=0=0 的特解)=At=0dtd?x解=-Ct cosk -C,k’sinkt= -k?(Ci cos kt + C2 sin kt) = -k2x这说明x=Cicoskt+C2sinkt是方程的解Ci,C2是两个独立的任意常数，故它是方程的通解利用初始条件易得：C =A,C2=0,故所求特解为x = Acoskt

例1. 验证函数 是微分方程 的通解, , x t0  A 0 d 0 d  t t  x 的特解 . 解: ( cos sin ) 1 2 2  k C k t  C k t 这说明 x C cos k t C sin k t  1  2 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, ( , ) C1 C2为常数 利用初始条件易得: 故所求特解为 x  Acos k t 故它是方程的通解. 并求满足初始条件