《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章 不定积分_4-1 不定积分的概念与性质

第四章第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念二、 基本积分表三、不定积分的性质

二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质 第四章

一、原函数与不定积分的概念定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足 F'(x)= f(x) 或 dF(x)= f(x)dx,则称 F(x) 为f(x)在区间I上的一个原函数例(sin x)=cosx sinx是cos x的一个原函数.(lnx) ==(x>0)Xlnx是一在区间(0,+oo)内的一个原函数Xln(-x)是一在区间(-o0,0)内的一个原函数X

一、 原函数与不定积分的概念 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 例 (sin ) cos x x     1 ln ( 0)  x x   x sin cos . x x 是 的一个原函数 1 ln (0, ) . x是 在区间  内的一个原函数 x 1 ln( ) ( ,0) . x x   是 在区间 内的一个原函数

问题：1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？2.若原函数存在，它如何表示？定理1.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上存在原函数简单地说：连续函数一定有原函数定理2.若F(x）)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都在函数族Fx）+C（C为任意常数）内

问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 简单地说: 连续函数一定有原函数。 定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内

定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都在函数族F（x）+C（C为任意常数）内证: 1) : (F(x)+C)=F'(x)= f(x):F(x）+C是f(x）的原函数2）设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即@(x)= f(x)又知F(x)= f(x): [Φ(x)- F(x))=@'(x)- F'(x) = f(x)- f(x)= 0故Φ(x)= F(x)+Co(Co为某个常数)它属于函数族 F(x)+C

定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知  [ ( x )  F ( x )]   ( x )  F ( x )  f ( x )  f ( x )  0 故 0  ( x )  F ( x )  C ( ) C 0 为某个常数 它属于函数族 F ( x )  C . 即

定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分，记作「f(x)dx，其中f(x）一被积函数;「一积分号;(P185)x 一积分变量；f(x)dx 一被积表达式若 F'(x)= f(x),则「 f(x)dx=F(x)+C_（C为任意常数）[e"dx= e"+C例如，C称为积分常数不可丢！[ x2dx= #x3 +Csin xdx = - cos x + C

定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. (P185) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数, 不可丢 ! 例如,   x x e d C x e    x dx 2 x  C 3 3 1   sin xdx  c o s x  C 记作

不定积分的几何意义：f(x）的原函数的图形称为f(x)的积分曲线[ f(x)dx 的图形一 f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族X

不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 f ( x) dx  的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y O x0 x 的积分曲线

例1.设曲线通过点（1,2），且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程解： y'=2x:: y = [2xdx = x? + C(1,2)所求曲线过点（1.2），故有2 =12 +CC=1因此所求曲线为y=x2+1

例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 (1, 2) , 故有 因此所求曲线为 1 2 y  x  y x (1,2) O

从不定积分定义可知：O[Jf(x)dx]= f(x) 或d[Jf(x)dx]= f(x)dx1dx(2) [F'(x)dx=F(x)+C 或 [dF(x)=F(x)+C利用逆向思维二、 基本积分表 (P188){kdx= kx+C(1)（k为常数）(2) Jx"dx=++C (μ*-1)x<0时(3) 『= Inx|+C(In x D'=[In(-x)]}' =x

 d x d (1)  f ( x)d x   f ( x ) 二、 基本积分表 (P188) 从不定积分定义可知: d   或 f ( x)dx   f ( x ) d x x   C  (2) F ( x ) d F ( x) 或   C  d F ( x) F ( x) 利用逆向思维   (1) kdx k x  C ( k 为常数)   (2) x dx  x  C   1 1 1     x d x (3) ln x  C x  0时 (   1) ( l n x )  [ ln ( x ) ] x 1 

dx或-arccotx+C(4arctan x + Cdxarcsin x+C 或- arccos x+ C(5)(6)Icos xdx = sin x+ C(7)Isin xdx = - cos x + Ci - (8)[- esc d -co++ (9)

   2 1 d (4) xx a r c t a n x  C   (6) cos xdx s in x  C   x x2 cosd (8)   sec x d x 2 t a n x  C 或  a r c c o t x  C    2 1d (5) xx a r c s i n x  C 或  a r c c o s x  C   (7) sin xdx  c o s x  C   x x2 sind (9)   csc x d x 2  c o t x  C

sec x tan xdx = sec x + C(10)(11)I csc xcot xdx = - csc x + C(12) [e'dx= e*+ Cgl(13) [a'dx =Ina

  (1 0) sec x tan xdx s e c x  C   (1 1) csc x cot xdx  c s c x  C   x x (1 2) e d C x e    a x x (1 3) d C a a x  ln