《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-6 高阶线性微分方程

第七章第六节高阶线性微分方程一、线性微分方程二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法

高阶线性微分方程 第六节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、线性微分方程 第七章

一、线性微分方程y"+ P(x)y'+Q(x)y = f(x)（二阶线性微分方程）n阶线性微分方程的一般形式为y(n) +ai(x)y(n-1) + ..+an-1(x)y'+an(x)y = f(x)「(x丰0时,称为非齐次方程；f(x）=0时，称为齐次方程复习：一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x)P(x)dx通解: y=Ce-[P(x)dx+e-[P(x)dxQ(x)edx齐次方程通解Y非齐次方程特解y

n 阶线性微分方程的一般形式为 y P x y Q x y f x      ( ) ( ) ( ) (二阶线性微分方程) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y f x n n n n          时, 称为非齐次方程 ; f (x)  0 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 y   P(x) y  Q(x) 通解:      Q x x P x x P x x e ( ) e d ( ) d ( ) d    P x x y C ( )d e 齐次方程通解Y 非齐次方程特解  y f (x)  0 一、线性微分方程

二、线性齐次方程解的结构定理1.若函数 yi(x),J2(x)是二阶线性齐次方程y" + P(x)y'+Q(x) y= 0的两个解，则y=Ciyi(x)+C2y2(x)(Ci,C2为任意常数)也是该方程的解.（叠加原理）证：将 y=Ciyi(x)+C22(x)代入方程左边,得[Ciy" +C2y2] + P(x)[Ciyi +C2y2 ]+Q(x)[Ciy1 +C2y2]=Ci[y"+ P(x)yi +Q(x)yi]+C2[y2 + P(x)y2 +Q(x)y2] = 0 证毕

( )[ ]  P x C1 y1   ( )[ ]  Q x C1 y1   0 证毕 二、线性齐次方程解的结构 ( ), ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y   P(x) y   Q(x) y  0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y  C y x  C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1   2 2 C y  2 2 C y  2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1  C y   P x y   Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2  C y   P x y   Q x y (叠加原理) ( ) ( ) 1 1 2 2 则 y  C y x  C y x 定理1

说明：y=Ciyi()+C2y2(x)不一定是所给二阶方程的通解例如，J（x）是某二阶齐次方程的解，则y2(x)=2yi(x）也是齐次方程的解但是Ciyi(x) + C2y2(x) =(Ci + 2 C2)yi(x)并不是通解为解决通解的判别问题，下面引入函数的线性相关与线性无关概念

说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 ( ) ( ) 1 1 2 2 y  C y x  C y x 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念

定义：设 yi(x),y2(x),·…,yn(x)是定义在区间上的n 个函数，若存在不全为0的常数ki,k2，,kn,使得kiyi(x)+k2y2(x)+...+knyn(x)=0, xEI则称这n个函数在I上线性相关，否则称为线性无关例如,1,cos2x,sin2x,在(-oo,+)上都有1-cos~x-sin~x=0故它们在任何区间I上都线性相关：又如，1,x，x2,若在某区间上k+kx+x2=0则根据二次多项式至多只有两个零点，可见ki，k2，k3必需全为0，故1，x，x2在任何区间1上都线性无关

定义: ( ), ( ), , ( ) 1 2 y x y x y x 设  n 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( ,  )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数

两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件：存在不全为0的ki,kz使yi(x),y2(x)线性相关一kji()+k2y2(x)=0yi(x)=_ k2（无妨设=-kik ±0)y2(x)(x),y2(a)线性无关— (a)丰常数y2(x)思考： 若yi(x),y2(x)中有一个恒为 0, 则 yi(x),y2(x)必线性相关

两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使 1 2 2 1 ( ) ( ) k k y x y x   ( 无妨设 0 ) k1  线性无关 ( ) ( ) 2 1 y x y x 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关

定理2.若yi(x),y2(x)是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解，则y=Ciyi(x)+C2y2(x)（Ci,C2为任意常数）是该方程的通解例如,方程"+y=0有特解yi=cosxy2=sinx,且=tan x 丰常数,故方程的通解为yiy=Cicosx+Csinx推论。若y1,J2,…,yn是 n 阶齐次方程y(n) + ai(x)y(n-1) + .. + an-(x)y' + an(x)y = 0的n个线性无关解，则方程的通解为y=Ciyi+.…+Cnyn（Ck为任意常数）

定理 2. 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, ( ) ( ) 1 1 2 2 y  C y x  C y x 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 ( ) y  C1 y1   Cn yn Ck为任意常数 x y tan 2  1y 则

三、线性非齐次方程解的结构定理3．设*(x)是二阶非齐次方程J"+P(x)y'+Q(x)y = f(x) ①的一个特解，Y(α)是相应齐次方程的通解,则2y=Y(x)+y*(x)是非齐次方程的通解证：将y=Y(x)+*(x)代入方程①左端,得(Y"+y*")+P(x)(Y'+y*)+Q(x)(Y +y*= (y*" +P(x)y*' +Q(x) y*) + (Y" + P(x)Y'+Q(x)Y)= f(x)+0= f(x)

三、线性非齐次方程解的结构 设 y * (x) 是二阶非齐次方程 的一个特解, y  Y (x)  y * (x) Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将 y  Y (x)  y * (x) 代入方程①左端, 得 (Y   y *)  P(x)(Y   y *)  (Y   P(x)Y   Q(x)Y )  f (x)  0  f (x)  Q(x)(Y  y *) ② ①

故y=Y(x）+y*（x）是非齐次方程的解，又Y中含有证毕两个独立任意常数，因而②也是通解例如，方程"+=x有特解*=x对应齐次方程"+=0有通解Y= C cosx+C2 sin x因此该方程的通解为y=Ccosx+C2sin x+x

故 y  Y (x)  y * (x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程 有特解 Y C cos x C sin x  1  2 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 因而 ② 也是通解 . 证毕

定理4.设yk（x）（k=1,2,,m)分别是方程y" + P(x)y'+Q(x)y = fk(x) (k =1, 2,..., m)m的特解，则=是方程k=lmy" + P(x)y'+Q(x)y= E fh(x)k=l的特解.（非齐次方程之解的叠加原理）定理3.定理4均可推广到n阶线性非齐次方程

定理 4. 分别是方程 的特解, 是方程 y P(x) y Q(x) y f (x) (k 1, 2, , m )      k   ( ) ( ) ( ) 1 y P x y Q x y f x m k  k       的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程