《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-1 微分中值定理

第三章微分中值定理与导数的应用罗尔中值定理推广泰勒公式拉格朗日中值定理中值定理(第三节）柯西中值定理研究函数性质及曲线性态应用利用导数解决实际问题

第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用

第一节中值定理一、罗尔(Rolle）定理二、拉格朗日（Lagrange）中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理

一、罗尔( Rolle )定理 第一节 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理

一、罗尔(Rolle)定理费马（fermat）引理wn.p.dy=f(x）在x的某个邻域U(x）有定义，> f'(xo) = 0且f(x)≤ f(xo), f'(xo)存在(或≥)证:设Vxo +Ax U(xo), f(xo + Ax)≤ f(xo),f(xo + Ax)- f(xo)则 f'(xo)= limXoAxAr-0f"(xo)≥0(△x→0-)>f'(xo)=0f(xo)≤0 (x→0t)证毕费马

费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 (或  ) 证: 设 则  0  0 费马 证毕x y O 0x

罗尔（Rolle）定理y= f(x)V=f(x)满足：(1)在区间[a，b]上连续(2)在区间（a,b)内可导Lbxac(3) f(a)=f(b)>在（ab）内至少存在一点三，使f（）=0证：因f(x)在[a，b]上连续，故在[a，b]上取得最大值M和最小值m若M=m,则f(x)=M,xE[a,b]因此VEE(a,b), f'()=0

罗尔( Rolle )定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f ( )  0. 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点  x y a b y  f (x) O

若M>m，则M和m中至少有一个与端点值不等不妨设 M ±f(a),则至少存在一点 (a,b),使f（）=M，则由费马引理得f（）=0A= f(x)注意：1）定理条件条件不全具备，结论不一定aebx成立.例如，x, 0≤x<1f(x)= xf(x)=xf(x)=0.x=1xe[-1,1]xe[0,1]yix1 xC-101xf(O)±f(1)在(0,1)不可导在[0,]不连续

若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f ( )  0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 成立. 则由费马引理得 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y O  x y a b y  f (x) O 例如

罗尔定理的几何意义：如果曲线段y=f(x)(xE[a,b])是连续不断的、光滑的，且两端纵坐标相等，则该曲线段在[a,b]上至少有一条水平切线y=f(x)B罗尔定理常用来做中值等式的证明bacX导函数和高阶导函数零点的存在性证明，形如G,f（）f（）=O.没有端点信息

如果曲线段 是连续不断的、光滑的， 且两端纵坐标相等，则该曲线段在 上至少有一条 水平切线. y f x x a b   ( )( [ , ]) [ , ] a b 罗尔定理的几何意义：  x y a b y  f (x) O A B 罗尔定理常用来做中值等式的证明： 导函数和高阶导函数零点的存在性证明，形如 G f f ( , ( ), ( )) 0. 没有端点信息.    

例1.证明方程x-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根证：1）存在性设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在[0，11连续，且f(O)=1,f(I)=-3.由零点定理知存在 xoE(0,1),使f(xo）=0，即方程有小于1的正根 xo·2)唯一性.假设另有xiE(O,1),xi≠xo,使f(x)=0,：f(x)在以Xo，Xi为端点的区间满足罗尔定理条件，：在xo，xi之间至少存在一点，使f()=0但 f(x)=5(x4-1)<0,xE(0,1),矛盾,故假设不真!

例1. 证明方程 ( ) 5 1, 5 f x  x  x  ( ) 0, f x0  有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 (0,1), x0  使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有  f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设

例2.设f(x)在[0,1]连续，(0,1)可导，且f(1)=0求证存在E(O,1),使f()+f'()=0F'()证：设辅助函数 F(x)= xf(x)显然F（x）在[0,1]上满足罗尔定理条件且 F'(x)= f(x)+ xf'(x), 因此至少存在 E (O,1)使得F'()= f()+Ef() =0

求证存在   (0 ,1) , 使 例2. 设 在 [0,1] 连续， 1) 可导，且 f (1)  0 , ( x) (0 , f 证: 设辅助函数 F x xf x ( ) ( )  因此至少存在   (0 ,1) , 显然 F x( ) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件, F( ) ξ  使得 f ( ) ( ) ξ  ξ f  ξ  0 且 F x f x xf x   ( ) ( ) ( ),   F( ) ξ

y= f(x)二、拉格朗日中值定理Vf(b)-f(a)xy=f(x）满足：b-a(1)在区间「α,b］上连续b2xd(2)在区间（α,b）内可导>至少存在一点=E(a,b)，使f(b)-f(a)=f'()(b-a)f(b)- f(a)0-0证：问题转化为证 f(3)=b-a0(x) = (x) - f(b)-f(a)作辅助函数b-aagrange显然,(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，且(a)=b(a)-af(b)=0(b),由罗尔定理知至少存在一点b-a三E(a,b),使p()=0,即定理结论成立.证毕拉氏

二、拉格朗日中值定理  ( )   (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 f b f a f ( ) ( ) ( )( ).     ξ b a 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且 证: 问题转化为证 (x)  f (x) x b a f b f a    ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 .  (b), b a b f a a f b    ( ) ( ) 拉氏 ( ) ( ) ( ) f b f a f ξ b a     证毕 x y a b y  f (x) O  y x b a f b f a    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f b f a f ξ b a     

拉格朗日中值定理的几何意义：{(S)={(b)-{(α),b-a如果曲线段y=f(x)(xE[a,bD是连续不断的、光滑的，且除端点外处处具有不垂直于横坐标轴的切线，则该曲线段在（α,b）上至少有一点，使曲线在该点处的切线与两端点的连线（弦）平行应用拉格朗日中值定理常用来做三方面的应用：y=f(x)(1)证明含有中值的等式：7B形如G(a,b,f(a),f(b),f(),于))=0，含有端点信息。b x(2)不等式的证明。 α (3）函数的形态：有界性

如果曲线段 是连续不断的、光滑的， 且除端点外处处具有不垂直于横坐标轴的切线，则该 曲线段在 上至少有一点,使曲线在该点处的切线与 两端点的连线（弦）平行. y f x x a b   ( )( [ , ]) ( , ) a b . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f   拉格朗日中值定理的几何意义:    x y a b y  f (x) O  A B 应用拉格朗日中值定理常用来做三方面的应用： (1) 证明含有中值的等式： 形如 G a b f a f b f f ( , , ( ), ( ), , ( ), ( )) 0     ，含有端点信息。 (2) 不等式的证明。 (3) 函数的形态：有界性